Question

2．如图，点D为定线段AB上一动点，以BD为直径作半圆O，过A作半圆O的切线，切点为C，连CD，当（AC-AD）取最大值时，tan∠ACD=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 连接BC、CD，首先证明ACD∽△ABC，AC²=AB•AD，设AB=K，AC=x，则AD=$\frac{{x}^{2}}{k}$，由二次函数的性质可知x=$\frac{K}{2}$时，AC-AD有最大值，由锐角三角函数的定义和相似三角形的性质求解即可．

解答 解：如图所示；连接BC、CD．


∵AC是圆O的切线，
∴∠ACD=∠CBD．
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC．
∴AC²=AB•AD，$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BC}$．
设AB=k，AC=x，则AD=$\frac{{x}^{2}}{k}$．
∴AC-AD=$-\frac{{x}^{2}}{k}+x$．
由二次函数的性质可知：当x=-$\frac{b}{2a}=-\frac{1}{-\frac{1}{k}×2}=\frac{k}{2}$时，AC-AD有最大值．
即AC=$\frac{AB}{2}$时，AC-AD有最大值．
∴tan∠DCA=tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题主要考查的切线的性质、相似三角形的性质和判定、二次函数的最值，根据题意列出AC-AD关于x的函数关系式是解题的关键．