Question

10．等腰三角形的周长为5（2+$\sqrt{3}$），顶角是底角的4倍，求各角与各边的长．

Answer 1

分析 根据等腰三角形顶角是底角的4倍，可以求得各内角的度数，作辅助线AD⊥BC，找出三边之间的关系，再根据等腰三角形的周长为5（2+$\sqrt{3}$），可以求得各边的长，从而可以解答本题．

解答 解：∵腰三角形顶角是底角的4倍，
∴设该等腰三角形的底角为x，则顶角为4x．
∴x+x+4x=180°．
解得x=30°，
4x=120°．
如下图所示：AB=AC，∠B=∠C=30°，作AD⊥BC交BC于点D．

∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°．
∵AB=AC，∠B=∠C=30°，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}BC$，BD=ABcos30°．
∵等腰三角形ABC的周长为5（2+$\sqrt{3}$），
∴AB+2ABcos30°+AC=5（2+$\sqrt{3}$）．
解得，AB=AC=5，BC=5$\sqrt{3}$．
即该等腰三角形的各角分别为：30°，30°，120°，各边分别为：5，5，5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查解直角三角形、等边三角形的性质，解题的关键是找出所求问题需要的条件，明确各个量之间的关系．