Question

如图，△ABC中，∠BAC=120°，∠B=30°，AD⊥AB，垂足为A，CD=2cm．求AB的长及△ABC的面积．

Answer 1

考点：含30度角的直角三角形

专题：

分析：根据三角形内角和定理，由∠BAC=120°，∠B=30°，AD⊥AB求得∠DAC=∠C=30°，由此证得△ADC是等腰三角形，即可求出AD的长，解Rt△ABD，得出BD、AB的长，求出BC=BD+CD，再作AE⊥BC于E．在Rt△ABE中，根据含30度角的直角三角形的性质得出AE=

1

2

AB=

3

cm，然后利用△ABC的面积=

1

2

BC•AE，代入数据计算即可．

解答：解：∵在△ABC中，∠BAC=120°，∠B=30°，AD⊥AB，
∴∠C=180°-120°-30°=30°，∠DAC=120°-90°=30°；
∴∠DAC=∠C=30°，
∴CD=AD=2cm．
在Rt△ABD中，∵∠BAD=90°，∠B=30°，
∴BD=2AD=4cm，AB=

AD

tan30°

=2

3

cm，
∴BC=BD+CD=6cm．
作AE⊥BC于E．
在Rt△ABE中，∵∠BEA=90°，∠B=30°，
∴AE=

1

2

AB=

3

cm，
∴△ABC的面积=

1

2

BC•AE=

1

2

×6×

3

=3

3

（cm²）．

点评：此题主要考查含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的面积；求得∠DAC=30°是正确解答本题的关键．