Question

【问题情景】
我们知道，多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角．
如图1所示，∠CBD、∠BAF、∠ACE是△ABC的三个外角，下面我们来探究∠CBD、∠BAF、∠ACE和△ABC三内角之间的数量关系．

【方法感悟】
解：因为在△ABC中，
∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
所以∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC．
因为∠ABC+∠CBD=180°，
所以∠CBD=180°-∠ABC．
所以∠CBD=∠BAC+∠ACB．
同理可得：∠BAF=∠ABC+∠ACB，∠ACE=∠BAC+∠ABC．
因此，我们得到一个重要的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【解决问题】
问题一：
已知：如图2，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，请直接利用上述结论，试探究∠FDC+∠ECD与∠A的数量关系．
问题二：
已知：如图3，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
问题三：
已知：如图4，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论直接写出∠P与∠A+∠B的数量关系．

 

．

Answer 1

考点：多边形内角与外角,三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：探究型

分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和公式即可求解；
（2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠P与∠A的数量关系；
（3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠P与∠A+∠B的数量关系．

解答：解：（1）∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A．
（2）∵DP平分∠ADC，
∴∠PDC=

1

2

∠ADC．
同理，∠PCD=

1

2

∠ACD．
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A；
（3）∵DP平分∠ADC，
∴∠PDC=

1

2

∠ADC．
同理，∠PCD=

1

2

∠BCD．
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD=180°-

1

2

（360°-∠A-∠B）=

1

2

（∠A+∠B）．
故答案为：∠P=

1

2

（∠A+∠B）．

点评：本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．