Question

某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品约售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．
（2）若每个月的利润为2200元，求每件商品的售价应定为多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，再根据每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件和销售利润=件数×每件的利润列出关系式，即可得出答案．
（2）每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积，即（210-x）（10+x），当每个月的利润恰为2200元时得到方程（210-x）（10+x）=2200．求此方程中x的值；
（3）根据（1）得出的函数关系式，再进行配方得出y=-10（x-5.5）²+2402.5，当x=5.5时y有最大值，从而得出答案．

解答：解：（1）由题意得：y=（210-10x）（50+x-40）
=-10x²+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；

（2）根据题意，得（210-10x）（10+x）=2200．
整理，得x²-11x+10=0，解这个方程，得x₁=1，x₂=10
∴当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60．
答：当每件商品的售价定为51元或60元时，每个月的利润恰为2200元．

（3）根据（1）得：
y=-10x²+110x+2100，
y=-10（x-5.5）²+2402.5，
∵a=-10＜0，
∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x=5时，50+x=55，y=2400（元），
当x=6时，50+x=56，y=2400（元）
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．

点评：本题考查二次函数的实际应用，关键是读懂题意，找出之间的等量关系，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．