Question

如图，△ABC中∠A的平分线为AD，M为BC的中点，过点M作ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于F．
（1）求证：BE=CF．
（2）若∠BAC=90°，BC=10．AB=6，求BE的长．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明

AE

EG

=

AF

FC

；证明BE=EG，得到BE=CF，即可解决问题．
（2）运用勾股定理求出AC的长度；借助角平分线的性质求出BD的长度；证明

BD

BM

=

AB

BE

，求出BE即可解决问题．

解答：解：（1）如图，过点C作CG∥EM，交BF的延长线于点G；
∴

AE

EG

=

AF

FC

；而AD平分∠BAC，AD∥EM，
∴∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠AEF，∠EFA=∠CAD，
∴∠AEF=∠AFE，AE=AF，
∴EG=CF；而EM∥CG，BM=CM，
∴BE=EG，
∴BE=CF．
（2）∵∠BAC=90°，BC=10．AB=6，
∴AC²=10²-6²，AC=8；
∵AD平分∠BAC，
∴

BD

DC

=

AB

AC

=

3

4

；解得：BD=

30

7

；
∵M为BC的中点，
∴BM=

1

2

BC=5；
∵AD∥EM，
∴

BD

BM

=

AB

BE

，
解得：BE=7．

点评：该题主要考查了角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用平行线分线段成比例定理来分析、判断、推理或解答．