Question

如图，抛物线y=-

1

4

x²+x+3与x轴交于A（-2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为点D（2，4），以点D为圆心，r为半径作⊙D，若⊙D与直线BC相切，求⊙D的半径r．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：作DE⊥BC交BC于点E，作DF⊥BO交BO于点F，交BC于点G，先求出BC的直线解析式，再利用点的坐标求出GF，BF及DG的长，利用勾股定理求出BG的长，利用△DEG∽△BFG，可求得DE的长，即⊙D的半径r的值．

解答：解：如图，作DE⊥BC交BC于点E，作DF⊥BO交BO于点F，交BC于点G，

设BC的直线解析式为y=kx+b，
∵C（0，3），B（6，0），
∴BC的直线解析式为y=-

1

2

x+3，
∵D（2，4），
∴G（2，2），
∴GF=2，DG=4-2=2，
∵BF=6-2=4，
∴BG=

42+22

=2

5

又∵△DEG∽△BFG，
∴

DE

BF

=

DG

BG

，
∴

DE

4

=

2

2 5

，解得DE=

4 5

5

，
∴⊙D的半径r=

4 5

5

．

点评：本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是正确作出辅助线，利用三角形相似求解．