Question

【题目】和都是等腰直角三角形，．

（1）如图1，点、分别在、上，则、满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案）

（2）如图2，点在内部，点在外部，连结、，则、满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

（3）如图3，点、都在外部，连结、、、，与相交于点．已知，，设，，求与之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）BD=CE，BD⊥CE；（2）BD=CE，BD⊥CE；证明见解析；（3）y=40-x．

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质解答；

（2）延长BD，分别交AC、CE于F、G，证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答；

（3）先证明∠BAD=∠CAE，再证明△ABD≌△ACE，可得∠BHC =90°，最后利用勾股定理计算即可．

（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，

∴BD=CE，BD⊥CE；

（2）BD=CE，BD⊥CE，

理由如下：延长BD，分别交AC、CE于F、G，

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，

∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAE=∠DAE-∠DAC

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

∵∠AFB=∠GFC，

∴∠CGF=∠BAF=90°，即BD⊥CE；

（3）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，

∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠CAE=∠DAE+∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

∵∠AOB=∠HOC，

∴∠BHC=∠BAC=90°，

∴CD2+EB2=CH2+HB2+EH2+HD2=BC2+DE2

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE

∵，

∴BC2=32，DE2=8

∵，

∴x+y=32+8

∴y=40-x．