Question

在△ABC中，O是角分线BE和CD的交点，∠A=60°，若CD=8，BD：CE=1：2，则AE的长度为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：在BC上取点F，使得BF=BD，易证△OBD≌△OBF，可得BD=BF，∠BOF=∠BOD=60°，即可求得∠COF，即可证明△COE≌△COE，可得CF=CE，由角平分线定理可得

DO

CO

=

1

3

，即可求得FO=EO=2，易证△COE∽△CAD，可得

CE

CD

=

CO

AC

，即可求得AC的值，即可解题．

解答：解：在BC上取点F，使得BF=BD，

∵BE，CD是∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=120°，
∴∠BOD=∠COE=60°，
在△OBD和△OBF中，

BD=BF ∠DBO=∠FBO BO=BO

，
∴△OBD≌△OBF（SAS），
∴BD=BF，∠BOF=∠BOD=60°，
∴∠COF=60°，
在△COE和△COE中，

∠COE=∠COF=60° OC=OC ∠OCE=∠OCF

，
∴△COE≌△COE（ASA），
∴CF=CE，
∵BD：CE=1：2，
∴

BD

BC

=

1

3

，
∴由角平分线定理可得

DO

CO

=

1

3

，
∵CD=8，
∴DO=2，CO=6，
∴FO=EO=2，
∵EC²=OE²+OC²-2CO•OEcos∠EOC，
∴CD=2

7

，
∵∠COE=∠A=60°，
∴△COE∽△CAD，
∴

CE

CD

=

CO

AC

，
∴AC=

24 7

7

，
∴AE=AC-CE=

24 7

7

-2

7

=

10 7

7

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了相似三角形的判定和相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△COE≌△COE是解题的关键．