Question

如图，在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=OB=a，以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD，CD的延长线交x轴于点E，再以CE为边作第二个正方形ECGF，…，依此方法作下去，则第2014个正方形的边长是

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,坐标与图形性质

专题：规律型

分析：判断出△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出第一个正方形的边长AB，然后判断出△ADE是等腰直角三角形，再求出AD=DE，从而求出第二个正方形的边长等于第一个正方形的边长的2倍，同理可得后一个正方形的边长等于前一个正方形的边长的2倍，然后求解即可．

解答：解：∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴第一个正方形的边长AB=

2

a，
∠OAB=45°，
∴∠DAE=180°-45°-90°=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=DE，
∴第二个正方形的边长CE=CD+DE=2AB，
…，
后一个正方形的边长等于前一个正方形的边长的2倍，
所以，第n个正方形的边长=2^n-1AB=

2

a•2^n-1．
∴第2014个正方形的边长=

2

a×2²⁰¹³
故答案为：

2

a•2²⁰¹³．

点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，判断出后一个正方形的边长等于前一个正方形的边长的2倍是解题的关键．