[题目]如图.已知二次函数的图像与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.其中点A的坐标为.对称轴是直线．(1)求该二次函数的表达式,(2)如图.连接AC.若点P是该抛物线上一点.且.求点P的坐标,(3)如图.点P是该抛物线上一点.点Q为射线CB上一点.且P.Q两点均在第四象限内.线段AQ与BP交于点M.当.且△ABM与△PQM的面积相等时.请问线段PQ的长是否为定值?如果是.请求出这� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，对称轴是直线．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）如图，连接AC，若点P是该抛物线上一点，且，求点P的坐标；

（3）如图，点P是该抛物线上一点，点Q为射线CB上一点，且P、Q两点均在第四象限内，线段AQ与BP交于点M，当，且△ABM与△PQM的面积相等时，请问线段PQ的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）或；（3）线段PQ的长是定值，定值为7

【解析】

（1）由点A的坐标为，对称轴是直线，即可得出方程组，解方程组即可求出二次函数的表达式；

（2）设P（x，），在y轴上取点D，，使CD=CA，可求得D（0，9），故∠ACO=2∠ADO，故∠ADO=∠PAB，所以tan∠ADO=tan∠PAB，列出方程，求出x的值即可；

（3）连接AP,由△ABM与△PQM的面积相等，可得△ABP与△PQA的面积相等，故BQ∥AP，故∠BQA=∠PAQ，∠PBQ=∠APB，由等腰三角形的判定可得AM=PM,BM=QM，故AQ=PB，根据SAS可证△ABP≌△PQA，即可得出答案．

（1）∵点A的坐标为，对称轴是直线．

∴

（2）设P（x，），

当x=0时，

∴C（0，4）

∵A(-3，0)C（0．4）

∴OA=4,OC=4

∴AC=5

在y轴上C的上方取点D，使CD=CA=5，

∴OD=OC+CD=4+5=9

∴D（0，9），

连结AD，

∵CD=CA=5，

∴∠DAC-∠ADC

∴∠ACO=2∠ADO，

∴∠ADO=∠PAB，

∴tan∠ADO=tan∠PAB，

∴，

∴

∴P（3，2）或（5，）

（3）线段PQ的长是定值，为7．

连接AP

∵△ABM与△PQM的面积相等

∴△ABP与△PQA的面积相等

∴BQ∥AP

∴∠BQA=∠PAQ，∠PBQ=∠APB，

∵∠PBQ＝∠AQB，

∴∠BQA=∠PAQ=∠PBQ=∠APB，

∴AM=PM,BM=QM

∴AM+MQ=PM+BM

∴AQ=PB

∵∠QAP＝∠BPA，AP=AP

∴△ABP≌△PQA

∴PQ=AB=7．

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