问题解决:如图1.将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置.其中∠C=90°.∠B=∠E=30°．(1)如图2.固定△ABC.将△DEC绕点C旋转.当点D恰好落在AB边上时.设△BDC的面积为S1.△AEC的面积为S2.那么S1与S2的数量关系是 ,(2)当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时.小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立.并� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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问题解决：
如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
（1）如图2，固定△ABC，将△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂，那么S₁与S₂的数量关系是

；

（2）当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）如图4，∠ABC=60°，点D在其角平分线上，BD=CD=6，DE∥AB交BC于点E，若点F在射线BA上，并且S_△DCF=S_△BDE，请直接写出相应的BF的长．

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）相等，根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=

AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；
（3）过点D作DF₁∥BE，求出四边形BEDF₁是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF₁，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F₁为所求的点，过点D作DF₂⊥BD，求出∠F₁DF₂=60°，从而得到△DF₁F₂是等边三角形，然后求出DF₁=DF₂，再求出∠CDF₁=∠CDF₂，利用“边角边”证明△CDF₁和△CDF₂全等，根据全等三角形的面积相等可得点F₂也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．

解答：解：（1）∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=

AB，
∴BD=AD=AC，
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S₁=S₂；
故答案为：相等；
（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
在△ACN和△DCM中，

∠ACN=∠DCM

∠CMD=∠N=90°

AC=CD

，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S₁=S₂；

（3）如图，过点D作DF₁∥BE，易求四边形BEDF₁是菱形，
所以BE=DF₁，且BE、DF₁上的高相等，
此时S_△DCF=S_△BDE，

过点D作DF₂⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴∠F₁DF₂=∠ABC=60°，
∴△DF₁F₂是等边三角形，
∴DF₁=DF₂，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=

×60°=30°，
∴∠CDF₁=180°-30°=150°，
∠CDF₂=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF₁=∠CDF₂，
在△CDF₁和△CDF₂中，

DF1=DF2

∠CDF1=∠CDF2

CD=CD

，
∴△CDF₁≌△CDF₂（SAS），
∴点F₂也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=

×60°=30°，
又∵BD=6，
∴BE=

×6÷cos30°=3÷

，
∴BF₁=2

，BF₂=BF₁+F₁F₂=4

，
故BF的长为2

或4

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．

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