【题目】若x满足(5-x)(x-2)=2,求(x-5)2+(2-x)2的值;
解:设5-x=a,x-2=b,则(5-x)(x-2)=ab=2,a+b=(5-x)+(x-2)=3,
所以(x-5)2+(2-x)2=(5-x)2+(x-2)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×2=5,
请仿照上面的方法求解下面的问题
(1)若x满足(9-x)(x-4)=4,求(9-x)2+(x-4)2的值;
(2)已知正方形ABCD的边长为x,E,F分别是AD,DC上的点,且AE=2,CF=4,长方形EMFD的面积是63,分别以MF、DF为边作正方形,求阴影部分的面积.
【答案】(1)17;(2)32.
【解析】
(1)设(9-x)=a,(x-4)=b,根据已知等式确定出所求即可;
(2)设正方形ABCD边长为x,进而表示出MF与DF,求出阴影部分面积即可.
解:(1)设9-x=a,x-4=b,则(9-x)(x-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5,
∴(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17;
(2)∵正方形ABCD的边长为x,
∴DE=x-2,DF=x-4,
设x-2=a,x-4=b,
则S正方形EMFD=ab=63,a-b=(x-2)-(x-4)=2,
那么(a+b)2=(a-b)2+4ab=256,得a+b=16,
∴(x-2)2-(x-4)2=a2-b2=(a+b)(a-b)=32.
即阴影部分的面积是32.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D,E分别在AC,BC上,且CD·BC=AC·CE,以E为圆心,DE长为半径作圆,⊙E经过点B,与AB,BC分别交于点F,G.
(1)求证:AC是⊙E的切线;
(2)若AF=4,CG=5,
①求⊙E的半径;
②若Rt△ABC的内切圆圆心为I,则IE= .
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【题目】近年来,我国煤矿安全事故频频发生,其中危害最大的是瓦斯,其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现:从零时起,井内空气中CO的浓度达到4 mg/L,此后浓度呈直线型增加,在第7小时达到最高值46 mg/L,发生爆炸;爆炸后,空气中的CO浓度成反比例下降,如图,根据题中相关信息回答下列问题:
(1)求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式,并写出相应的自变量取值范围;
(2)当空气中的CO浓度达到34 mg/L时,井下3 km的矿工接到自动报警信号,这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生?
(3)矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时,才能回到矿井开展生产自救,求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?
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【题目】如图,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF.延长DB交EF于点N.
(1)求证:AD=AF;
(2)求证:BD=EF;
(3)试判断四边形ABNE的形状,并说明理由.
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【题目】已知△ABC中,点D为BC的中点,BD=AB,AD⊥BC.
(1)如图1,求∠BAD的度数;
(2)如图2,点E为BC上一点,点F为AC上一点,连接AE、BF交于点G,若∠AGF=60°,求证:BE=CF;
(3)如图3,在(2)的条件下,点G为BF的中点,点H为AG上一点,延长BH交AC于点K,AK=HK,BM⊥AE交AE延长线于点M,BG=9,HM=10,求线段AG的长.
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【题目】如图,已知点A是射线BE上一点,过A作CA⊥BE交射线BF于点C,AD⊥BF交射线BF于点D,给出下列结论:①∠1是∠B的余角;②图中互余的角共有3对;③∠1的补角只有∠ACF;④与∠ADB互补的角共有3个.则上述结论正确的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,大于长为半径画弧,两弧交于一点P,连接AP并延长交BC于点E,连接EF.
(1)四边形ABEF是_______;(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(直接填写结果)
(2)AE,BF相交于点O,若四边形ABEF的周长为40,BF=10,则AE的长为________,∠ABC=________°.(直接填写结果)
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【题目】为了加强学生的交通安全意识,某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动,星期天选派部分学生到交通路口值勤,协助交通警察维护交通秩序.若每一个路口安排4人,那么还剩下78人;若每个路口安排8人,那么最后一个路口不足8人,但不少于4人.求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?
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