【题目】如图,是等边三角形,是角平分线,过点作于,交边的延长线于点,.
(1)求证:是等腰三角形;
(2)求的长.
【答案】(1)证明见详解;(2)12
【解析】
(1)根据已知条件得∠ADE=30°,即∠CDF=30°,由外角定理得∠ACB=∠CDF+∠F,得∠F=30°,进而得到CD=CF,得出结论;
(2) 由于,∠ADE=30°,AE=2,可得AD=4,进而可得AC和CD的长,由BC=AC,CD=CF,可得BF的长度.
(1)∵是等边三角形,是角平分线,
∴∠A=∠ACB=60°,AC=BC,AD=CD=AC,
∵于,
∴∠ADE=90°-∠A=30°,
∴∠CDF=30°,
又∵∠ACB=60°, ∠ACB=∠CDF+∠F,
∴∠F=30°,
∴∠CDF+∠F=30°,
∴CD=CF,
∴是等腰三角形.
(2) ∵于,∠ADE=30°,AE=2,
∴AD=2AE=4,
∴CD=CF=4,AC=2AD=8,
∵是等边三角形,
∴BC=AC=8,
∴BF=BC+CF=8+4=12.
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【题目】若x满足(5-x)(x-2)=2,求(x-5)2+(2-x)2的值;
解:设5-x=a,x-2=b,则(5-x)(x-2)=ab=2,a+b=(5-x)+(x-2)=3,
所以(x-5)2+(2-x)2=(5-x)2+(x-2)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×2=5,
请仿照上面的方法求解下面的问题
(1)若x满足(9-x)(x-4)=4,求(9-x)2+(x-4)2的值;
(2)已知正方形ABCD的边长为x,E,F分别是AD,DC上的点,且AE=2,CF=4,长方形EMFD的面积是63,分别以MF、DF为边作正方形,求阴影部分的面积.
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【题目】如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则周长的最小值为
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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【题目】现有七个数﹣1,﹣2,﹣2,﹣4,﹣4,﹣8,﹣8将它们填入图1(3个圆两两相交分成7个部分)中,使得每个圆内部的4个数之积相等,设这个积为m,如图2给出了一种填法,此时m=64,在所有的填法中,m的最大值为_____.
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【题目】阅读材料:若,求m、n的值.
解: ,
,
,
.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)己知,求的值.
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数,且满足,求边c的最大值.
(3) 若己知,求的值.
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【题目】(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴交于点M.
(1)求此抛物线的解析式和对称轴;
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC,在直线AC下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】解放中学为了了解学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱程度,随机抽取了部分学生进行调查(每人限选1项),现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图,根据图中所给的信息解答下列问题.
(1)喜爱动画的学生人数和所占比例分别是多少?
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)若该校共有学生1000人,依据以上图表估计该校喜欢体育的人数约为多少?
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【题目】一个自然数的立方,可以分裂成若干个连续奇数的和,例如:,和分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个,3个和4个连续奇数的和,即,,…,若也按照此规律来进行“分裂”,则“分裂”出的奇数中,最大的奇数是( )
A.39B.41C.43D.45
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【题目】已知,△ABC是等边三角形,如图①,点D、E分别在射线BA、BC上,且AD=CE,求证:△BDE是等边三角形;
(2)如图②,点D在BA边上,点E在射线BC上,AD=CE,连接DE交AC于点F,请问DF与EF的数量关系是什么?并说明理由.
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