【题目】如图,Rt△ABC中,AB=6,AC=8.动点E,F同时分别从点A,B出发,分别沿着射线AC和射线BC的方向均以每秒1个单位的速度运动,连接EF,以EF为直径作⊙O交射线BC于点M,连接EM,设运动的时间为t(t>0).
(1)当点E在线段AC上时,用关于t的代数式表示CE= ,CM= .(直接写出结果)
(2)在整个运动过程中,当t为何值时,以点E、F、M为顶点的三角形与以点A、B、C为顶点的三角形相似?
【答案】(1)8-t, ;(2) t的值为
s或
s.
【解析】
(1)当点E在线段AC上时,0<t≤8.根据题意,可知AE=t,则CE=AC-AE=8-t,利用圆周角定理得∠EMF=90°.则可证得△CEM∽△CBA,利用相似比可表示出CM;
(2)讨论:当E点在线段AC上,(0<t≤8),先由△CEM∽△CBA,利用相似比可表示出,则FM=
,①若∠EFM=∠B时,△MFE∽△ABC,利用相似比可求出t=0(舍去);②若∠EFM=∠ACB时,△MEF∽△ABC,利用相似比可求得t=
(s);分情况进行讨论即可;
解:(1)如图1中,当点 E 在线段 AC 上时,0<t≤8.根据题意,可知 AE=t,则 CE=AC﹣AE=8﹣t.
∵EF 为直径,
∴∠EMF=90°.
∵∠ECM=∠BCA,
∴△CEM∽△CBA,
∴,即
,
∴,
故答案为:8﹣t,.
(2)∵△CEM∽△CBA,
∴,
即,
解得,
∴FM=BC﹣BF﹣CM=10﹣t﹣=
,
当E点在线段 AC 上,(0<t≤8),
①如图1中,若∠EFM=∠B时,△MFE∽△ABC,
∴,
即,解得t=0(舍去).
②若∠EFM=∠ACB时,△MEF∽△ABC,
∴
即,解得t=
(成立).
当E点在线段AC的延长线上,8<t≤10,如图2中,
显然EM<CM≤FM,∴△MFE∽△ABC不成立,
只有△MFE∽△ACB,当点F运动到C点时,
∵∠EFM=∠ACB,∠CME=∠A,
∴△MEF∽△ABC,此时t=10(成立);
当t>10时,由题意ME=(t﹣8),FM=BC+CM﹣BF=10+
(8﹣t)﹣t=
,
若△MFE∽△ABC,此时∠EFM=∠B,则=
,即
(8﹣t):
=3:4,
解得t=(成立),
若△MEF∽△ABC,此时∠EFM=∠ACB,则=
,即
(t﹣8):
=3:4,
解得t=10(舍弃),
综上所述,满足条件的t的值为s或
s.
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【题目】在平面直角坐标系中,对于不在坐标轴上的任意一点P(x,y),我们把的P'(,
)称为点P的“倒影点”.直线y=﹣2x+1上有两点A、B,它们的倒影点A'、B'均在反比例函数y
的图象上,若AB
,则k的值为( )
A.B.
C.5D.10
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【题目】(2013年四川资阳11分)在一个边长为a(单位:cm)的正方形ABCD中,点E、M分别是线段AC,CD上的动点,连结DE并延长交正方形的边于点F,过点M作MN⊥DF于H,交AD于N.
(1)如图1,当点M与点C重合,求证:DF=MN;
(2)如图2,假设点M从点C出发,以1cm/s的速度沿CD向点D运动,点E同时从点A出发,以cm/s速度沿AC向点C运动,运动时间为t(t>0);
①判断命题“当点F是边AB中点时,则点M是边CD的三等分点”的真假,并说明理由.
②连结FM、FN,△MNF能否为等腰三角形?若能,请写出a,t之间的关系;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作⊙O,D为⊙O上一点,连接AD、BD、CD、OB,且BD=AB.
(1)求证:OB//CD;
(2)若D为弧AC的中点,求tan∠BDC.
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【题目】随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业,据统计,目前广东5G基站的数量约1.5万座,计划到2020年底,全省5G基站数是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站数量将达到17.34万座。
(1)计划到2020年底,全省5G基站的数量是多少万座?;
(2)按照计划,求2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率。
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【题目】在平面直角坐标系中,直线与
轴交于点
,与
轴交于点
,抛物线
(
)经过点
、B.
(1)求、
满足的关系式及
的值.
(2)当时,若
(
)的函数值随
的增大而增大,求
的取值范围.
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【题目】关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2.
(1)求m的取值范围.
(2)若2(x1+x2)+ x1x2+10=0.求m的值.
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【题目】在正方形ABCD中,点E是BC边上一点,连接AE.
(1)如图1,点F为AE的中点,连接CF.已知tan∠FBE=,BF=5,求CF的长;
(2)如图2,过点E作AE的垂线交CD于点G,交AB的延长线于点H,点O为对角线AC的中点,连接GO并延长交AB于点M,求证:AM+BH=BE.
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