Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，D为⊙O上一点，连接AD、BD、CD、OB，且BD＝AB．

（1）求证：OB//CD；

（2）若D为弧AC的中点，求tan∠BDC．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠BDC＝．

【解析】

（1）先利用边边边定理判定，再由等腰三角形的性质、直径所对的圆周角是直角得到、，最后根据同位角相等推出两直线平行；

（2）由D为弧AC的中点，可得、为等腰直角三角形，在中利用锐角三角函数求得，即可得．

解：（1）证明：连结OD，延长OE交AD于点E，如图：

∵AO＝OD，AB＝BD，OB＝OB

∴△ABO≌△DBO

∴∠ABO＝∠DBO

∴∠AEB＝90°

∵AC是⊙O的直径

∴∠ADC＝90°

∴∠AEB＝∠ADC

∴OB//CD

（2）∵D为弧AC的中点

∴∠DOC＝∠DOA＝90°，∠DCO＝∠DAO＝45°，AD＝CD

∵∠ACB＝90°

∴OD//BC

∵OB//CD

∴四边形ODCB平行四边形

∴OB＝CD，∠BDC＝∠DBE

∴设OE＝x，则DE＝x，OD＝x，CD＝2x

∴BE＝x＋2x＝3x

∴tan∠BDC＝tan∠DBE＝．

故答案是：（1）证明见解析；（2）