Question

【题目】已知：抛物线 的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）.

(1)直接写出抛物线对称轴方程；

（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；

（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出a，b满足的关系式；若不能，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）抛物线对称轴方程：.（2），或，.（3）.

【解析】

（1）根据y=a（x-2）2+b直接得出答案；

（2）根据直线x=2与x轴交于点E，则E（2，0），以及抛物线经过原点，得出B（0，0），C（4，0），进而求出AE=BE=EC，当抛物线的顶点为A（2，-2）时，以及当抛物线的顶点为A′（2，2）时求出即可；

（3）根据B、C关于点E中心对称，当A，D也关于点E对称，且BE=AE时，四边形ABDC是正方形，即可求出．

（1）抛物线对称轴方程：直线x=2．

（2）如图，

设直线x=2与x轴交于点E，则E（2，0）．

∵抛物线经过原点，

∴B（0，0），C（4，0）．（3分）

∵△ABC为直角三角形，根据抛物线的对称性可知AB=AC，

∴AE=BE=EC，

∴A（2，-2）或（2，2）．

当抛物线的顶点为A（2，-2）时，y=a（x-2）2-2，

把（0，0）代入，得：a＝，

此时，b=-2．

当抛物线的顶点为A′（2，2）时，y=a（x-2）2+2，

把（0，0）代入，得：a＝，此时，b=2．

∴a＝，b=-2或a＝，b=2．

（3）依题意，B、C关于点E中心对称，当A，D也关于点E对称，且BE=AE时，四边形ABDC是正方形．

∵A（2，b），

∴AE=|b|，

∴B（2-|b|，0），

把B（2-|b|，0）代入y=a（x-2）2+b，得ab2+b=0，

∵b≠0，

∴abb+b=0，

∴b=-ab2，即=-1，-ab=1，

∴ab=-1．