Question

【题目】在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE．

（1）如图1，点F为AE的中点，连接CF．已知tan∠FBE＝，BF＝5，求CF的长；

（2）如图2，过点E作AE的垂线交CD于点G，交AB的延长线于点H，点O为对角线AC的中点，连接GO并延长交AB于点M，求证：AM+BH＝BE．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）根据直角三角形的性质得到BF，作FP⊥BC于点P，利用tan∠FBE＝求出PF，再利用勾股定理求出CF；

（2）先证明△AMO≌△CGO得到AM=GC，过G作GP垂直AB于点P，根据矩形的性质得到AB＝PG，再证明△ABE≌△GPH即可得到结论.

解：（1）Rt△ABE中，BF为中线，BF＝5，

∴AE＝10，FE＝5，

作FP⊥BC于点P，

Rt△BFP中，BF=5， ,

∴BP＝3，FP＝4，

在等腰三角形△BFE中，BE＝2BP＝6，

由勾股定理求得，

∴CP＝8﹣3＝5，

∴；

（2）∵∠ACD＝∠BAC＝45°，AO＝CO，∠AOM＝∠COG，

∴△AMO≌△CGO（ASA），

∴AM＝GC，

过G作GP垂直AB于点P，得矩形BCGP，

∴CG＝PB，

∵AB＝PG，∠AEB＝∠H，∠ABE＝∠GPH，

∴△ABE≌△GPH（ASA），

∴BE＝PH＝PB+BH＝CG+BH＝AM+BH．