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【题目】如图,已知二次函数 yax2+x+c 的图象与 y 轴交于点 A(0,4),

x 轴交于点 BC,点 C 坐标为(8,0),连接 ABAC

(1)请直接写出二次函数 yax2+x+c 的表达式;

(2)判断ABC 的形状,并说明理由;

(3)若点 N x 轴上运动,当以点 ANC 为顶点的三角形是等腰三角形时, 请直接写出此时点 N 的坐标;

(4)若点 N 在线段 BC 上运动不与点 BC 重合,过点 N NMAC,交AB 于点 M,当AMN 面积最大时,求此时点 N 的坐标.

【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)△ABC是直角三角形,理由见解析;(3)N的坐标分别为(﹣8,0),(8﹣4,0),(3,0)(8+4,0);(4)AMN面积最大时,N点坐标为(3,0).

【解析】

(1)利用待定系数法求解即可;

(2)先求得AB,AC,BC的长,然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC为直接三角形

(3)分别以A、C两点为圆心,AC长为半径画弧,与x轴交于三个点,由AC的垂直平分线与x轴交于一个点,分别求得点N的坐标即可;

(4)设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD⊥x轴于点D,根据三角形相似对应边成比例求得MD=(n+2),然后根据SAMN=SABN﹣SBMN得出关于n的二次函数,根据函数解析式求得即可.

:(1)∵二次函数yax2+x+c的图象与y轴交于点A(0,4),x轴交于点BC,点C坐标为(8,0),

解得

抛物线表达式:y=﹣x2+x+4;

(2)△ABC是直角三角形.

y=0,则x2+x+4=0, 解得 x1=8,x2=﹣2,

B 的坐标为(﹣2,0),

由已知可得,

Rt△ ABOAB2BO2+AO2=22+42=20,

Rt△AOCAC2AO2+CO2=42+82=80,

BCOB+OC=2+8=10,

ABCAB2+AC2=20+80=102BC2

∴△ABC 是直角三角形

(3)∵A(0,4),C(8,0),

AC=4

A为圆心,以AC长为半径作圆,交 x 轴于 N,此时 N 的坐标为(﹣8,0);

C为圆心AC长为半径作圆x轴于N此时N的坐标为(8﹣4,0)或(8+4 ,0);

AC的垂直平分线,交x轴于N,此时N的坐标为(3,0);

综上,若点Nx轴上运动,当以点ANC为顶点的三角形是等腰三角形时, N的坐标分别为(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0);

(4)设点N的坐标为(n,0),则BNn+2,过M点作MDx轴于点D

MDOA

∴△BMD∽△BAO

MNAC

AO=4,BC=10,BNn+2,

MDn+2),

SAMNSABNSBMN

BNOABNMD

n+2)×4﹣×n+2)2

=﹣n﹣3)2+5,

AMN 面积最大时,N点坐标为(3,0).

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