【题目】如图,已知二次函数 y=ax2+x+c 的图象与 y 轴交于点 A(0,4),
与 x 轴交于点 B、C,点 C 坐标为(8,0),连接 AB、AC.
(1)请直接写出二次函数 y=ax2+x+c 的表达式;
(2)判断△ABC 的形状,并说明理由;
(3)若点 N 在 x 轴上运动,当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时, 请直接写出此时点 N 的坐标;
(4)若点 N 在线段 BC 上运动(不与点 B、C 重合),过点 N 作 NM∥AC,交AB 于点 M,当△AMN 面积最大时,求此时点 N 的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)△ABC是直角三角形,理由见解析;(3)点N的坐标分别为(﹣8,0),(8﹣4,0),(3,0)或(8+4,0);(4)当△AMN面积最大时,N点坐标为(3,0).
【解析】
(1)利用待定系数法求解即可;
(2)先求得AB,AC,BC的长,然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC为直接三角形;
(3)分别以A、C两点为圆心,AC长为半径画弧,与x轴交于三个点,由AC的垂直平分线与x轴交于一个点,分别求得点N的坐标即可;
(4)设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD⊥x轴于点D,根据三角形相似对应边成比例求得MD=(n+2),然后根据S△AMN=S△ABN﹣S△BMN得出关于n的二次函数,根据函数解析式求得即可.
解:(1)∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),
,
解得,
∴抛物线表达式:y=﹣x2+x+4;
(2)△ABC是直角三角形.
令 y=0,则﹣x2+x+4=0, 解得 x1=8,x2=﹣2,
∴点 B 的坐标为(﹣2,0),
由已知可得,
在Rt△ ABO中,AB2=BO2+AO2=22+42=20,
在Rt△AOC中,AC2=AO2+CO2=42+82=80,
又∵BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中,AB2+AC2=20+80=102=BC2,
∴△ABC 是直角三角形;
(3)∵A(0,4),C(8,0),
∴AC==4,
①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交 x 轴于 N,此时 N 的坐标为(﹣8,0);
②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(8﹣4,0)或(8+4 ,0);
③作AC的垂直平分线,交x轴于N,此时N的坐标为(3,0);
综上,若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时, 点N的坐标分别为(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0);
(4)设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD⊥x轴于点D,
∴MD∥OA,
∴△BMD∽△BAO,
∴,
∵MN∥AC,
∴,
∴,
∵AO=4,BC=10,BN=n+2,
∴MD=(n+2),
∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN,
=BNOA﹣BNMD
=(n+2)×4﹣×(n+2)2
=﹣(n﹣3)2+5,
∴当△AMN 面积最大时,N点坐标为(3,0).
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【题目】在平面直角坐标系中,为原点,已知直线与轴交于点,与轴交于点,点与点关于轴对称,如图①.
(1)点的坐标为________,点的坐标为________,点的坐标为________,直线的解析式为________.
(2)点是轴上的一个动点(点不与点重合),过点作轴的垂线,交直线于点.交直线于点(图②).
①如图②,当点在轴的正半轴上时,若的面积为,求点的坐标;
②连接,若,求点的坐标.
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【题目】甲、乙两人在笔直的道路AB上相向而行,甲骑自行车从A地到B地,乙驾车从B地到A地,假设他们分别以不同的速度匀速行驶,甲先出发6分钟后,乙才出发,在整个过程中,甲、乙两人之间的距离y(千米)与甲出发的时间x(分)之间的函数图象如图.
(1)A地与B地相距______km,甲的速度为______km/分;
(2)求甲、乙两人相遇时,乙行驶的路程;
(3)当乙到达终点A时,甲还需多少分钟到达终点B?
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【题目】阅读下列解题过程:
===-2;
==.
请回答下列问题:
(1)观察上面的解题过程,请直接写出式子= ;
(2)观察上面的解题过程,请直接写出式子= ;
(3)利用上面所提供的解法,请求+···+的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,各顶点的坐标分别为
(1)作出关于原点成中心对称的.
(2)作出点关于轴的对称点若把点向右平移个单位长度后,落在的内部(不包括顶点和边界),的取值范围,
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【题目】正方形ABCD,点E为AB的中点,且BF=BC.
(1)如图1,求证:DE⊥EF.
(2)如图2,若点G在BC上,且CD=3CG,DG、EF交于H点,求的值.
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【题目】某市一家电子计算器专卖店的产品每个进价13元,售价20元,多买优惠。凡是一次买10个以上的,每多买1个,所买的全部计算器每个就降低0.10元.例如,某人买20个计算器,于是每个降价0.10×(20-10)=1(元),因此所买的全部20个计算器都按照每个19元计算。但是最低价为每个16元。
(1)写出该专卖店当一次销售x个时,所获利润y(元)与x(个)之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
(2)若店主一次卖的个数在10至50个之间,问:一次卖多少个获得的利润最大?其最大利润为多少?
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