Question

5．如图，等腰三角形ABC的外心与原点重合，AB=AC=10，BC=12，顶点A在x轴负半轴，顶点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$位于第一象限的图象上，则k的值为$\frac{21}{2}$．

Answer 1

分析 设BC与x轴相交于点D，连接OB，先根据AB=AC=10，BC=12，点O是△ABC的外心可知AD是BC的垂直平分线，OB=OA，再根据勾股定理求出AD的长，设OD=x，则OA=OB=8-x，在Rt△BOD中根据勾股定理求出x的值，故可得出B点坐标，代入反比例函数的解析式即可得出结论．

解答 解：设BC与x轴相交于点D，连接OB，
∵AB=AC=10，BC=12，点O是△ABC的外心，
∴AD是BC的垂直平分线，OB=OA，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=6，
∴AD=$\sqrt{{AB}^{2}-{BD}^{2}}$=$\sqrt{{10}^{2}-{6}^{2}}$=8．
设OD=x，则OA=OB=8-x，
在Rt△BOD中，OB²=OD²+BD²，即（8-x）²=x²+6²，解得x=$\frac{7}{4}$，
∴B（$\frac{7}{4}$，6），
∴k=$\frac{7}{4}$×6=$\frac{21}{2}$．
故答案为：$\frac{21}{2}$．

点评 本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心是解答此题的关键．