Question

15．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与坐标轴交于A，B两点，设P，Q分别为AB边，OB边上的动点，它们同时分别从点A，点O以每秒1个单位速度向终点B匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也停止移动，设移动时间为t秒．
（1）请写出点A，点B的坐标；
（2）试求△OPQ的面积S与移动时间t之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？并求出S的最大值；
（3）试证明无论t为何值，△OPQ都不会是等边三角形；
（4）将△OPQ沿直线PQ折叠，得到△O′PQ，问：△OPQ和O′PQ能否拼成一个三角形？若能，求出点O′的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（2）根据三角函数，可得PD的长，根据三角形的面积公式，可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据等边三角形的性质，可得∠POQ=∠OPQ=60°，根据等腰三角形的性质，可得∠APO=120°，再根据邻补角，可得∠QPB的度数，根据∠QPB与∠OPQ的关系，可得答案；
（4）根据轴对称的性质，可得O点关于PQ的对称点O′不在x轴上，根据四边形的定义，可得答案．

解答 解：（1）当x=0时，y=3，即A（0.3），当y=0时，-$\frac{3}{4}$x+3=0，即B（4，0）；
（2）如图1：作PD⊥x轴于D．，
OQ=t，AP=t，PB=5-t，
sin∠B=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
PD=PB•sin∠B=$\frac{3}{5}$（5-t），
S=$\frac{1}{2}$OQ•PD=$\frac{1}{2}$t（5-t）=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t，
当t=$\frac{5}{4}$时，s_最大=$\frac{25}{2}$；
（3）证明：∵OP=OQ=AP=PQ，∠POQ=∠OPQ=60°，
∴∠AOP=∠PAO=30°，
∴∠APO=120°，
∴∠BPQ=60°与∠OPQ=60°矛盾，
∴∠OPQ≠60°，即△OPQ都不会是等边三角形；
（4）：△OPQ和O′PQ不能拼成一个三角形，理由如下：
如图2，作PE⊥y轴于E点．，
∵AP=OQ＞PE，
∴PQ∥y轴，
∴O点关于PQ的对称点O′不在x轴上，
∴O、Q、O′不在同一条直线上，
∴OPO′Q是四边形，
△OPQ和O′PQ不能拼成一个三角形．

点评 本题考查了一次函数的综合题，利用了自变量与函数值的对应关系，锐角三角函数的定义，三角形的面积公式，二次函数的性质，轴对称的性质，四边形的定义，利用反证法是解题关键．