Question

如图，四边形ABCD中，BC∥AD，E为AB上一点，且EC=ED，∠CED=∠B
（1）猜想BE与AD的数量关系，并说明理由；
（2）如果将“BC∥AD”改为“∠CED=∠B=2∠A=2a”，其它条件不变，上述结论还成立吗？画出图形，进行探究．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长EA到F，使EF=BC，易证∠BCE=∠AED，可以证明△CBE≌△FED，可得∠B=∠F，BE=DF，即可求得DA=DF=BE；
（2）在EA上截取EF=BC，易证∠BCE=∠AED，可以证明△CBE≌△FED，可得BE=DF，即可证明∠ADF=∠A=α，AF=DF，再分类讨论：①若∠A=60°，②若∠A＜60°，③若∠A＞60°，即可解题．

解答：证明：（1）延长EA到F，使EF=BC，

∵∠B∠CED，∠B+∠BCE=∠CED+∠AED，
∴∠BCE=∠AED，
∵在△CBE和△FED中，

ED=CE ∠BCE=∠AED CB=EF

，
∴△CBE≌△FED，（SAS）
∴∠B=∠F，BE=DF，
∵BC∥AD，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠FAD+∠A=180°，
∴∠FAD=∠B=∠F，
∴DA=DF=BE；
（2）在EA上截取EF=BC，

∵∠B=∠CED，∠B+∠BCE=∠CED+∠AED，
∴∠BCE=∠AED，
∵在△CBE和△FED中，

DE=CE ∠BCE=∠AED CB=EF

，
∴△CBE≌△FED，（SAS）
∴BE=DF，
∵∠B=∠EFD=2α，∠A=α，
∴∠ADF=∠A=α，AF=DF，
讨论：①若∠A=60°，则EF=AD=BE，
②若∠A＜60°，则AD＜EF=BE，
③若∠A＞60°，则AD＞EF=BE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△CBE≌△FED是解题的关键．