Question

对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数），下列说法：
①方程的解为x=

-b± b2-4ac

2a

；
②若b=a+c，则方程必有一根为x=-1；
③若b=2a+

1

2

c，则一元二次方程ax²+bx+c=0必有一根为x=-2；   
④若ac＜0，则方程cx²+bx+a=0有两个不等实数根；     
⑤若b²-4ac=0，则方程cx²+bx+a=0有两个相等的实数根，
正确的结论是

 

．

Answer 1

考点：根的判别式,一元二次方程的解,解一元二次方程-公式法

专题：

分析：①只有当△=b²-4ac＞0时，方程的解为x=

-b± b2-4ac

2a

，由此即可判定说法错误；
②首先把b=a+c变为a-b+c=0，当x=-1时，ax²+bx+c=a-b+c，由此即可判定说法正确；
③首先把b=2a+

1

2

c变为4a-2b+c=0，当x=-2时，ax²+bx+c=4a-2b+c，由此即可判定说法正确；
④首先由ac＜0，可得方程cx²+bx+a=0是一元二次方程，再根据△=b²-4ac＞0，可得方程cx²+bx+a=0有两个不等实数根，由此即可判定说法正确；  
⑤只有当c≠0时，方程cx²+bx+a=0是一元二次方程，若b²-4ac=0，则方程cx²+bx+a=0有两个相等的实数根，由此即可判定说法错误．

解答：解：①对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数），
当△=b²-4ac＜0时，方程无解；
当△=b²-4ac≥0时，方程的解为x=

-b± b2-4ac

2a

，故原说法错误；
②∵b=a+c，
∴a-b+c=0，
∴当x=-1时，ax²+bx+c=a-b+c=0，
∴x=-1为方程ax²+bx+c=0的一根，故原说法正确；
③∵b=2a+

1

2

c，
∴4a-2b+c=0，
∴当x=-2时，ax²+bx+c=4a-2b+c=0，
∴一元二次方程ax²+bx+c=0必有一根为x=-2，故原说法正确；
④∵ac＜0，
∴c≠0，方程cx²+bx+a=0是一元二次方程，
∵△=b²-4ac＞0，
∴方程cx²+bx+a=0有两个不等实数根，故原说法正确；  
⑤当c≠0时，方程cx²+bx+a=0是一元二次方程，若b²-4ac=0，则方程cx²+bx+a=0有两个相等的实数根；
当c=0时，b=0，方程cx²+bx+a=0不可能有两个相等的实数根，故原说法错误．
故答案为②③④．

点评：此题主要考查了一元二次方程的判别式和方程的解等知识，是基础题，需熟练掌握．