Question

已知△ABC中，∠ABC=45°，且CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD交于点I．在BC上存在一点F，连接AF，使得∠BAF=∠ACD．AF交CD于点G，交BE于点H．
（1）求证：AF=AC；
（2）试探究线段HI与FG的大小关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）△ABC中，∠ABC=45°，且CD⊥AB，得到此三角形为等腰直角三角形，得到∠DBC=∠DCB=45°，由∠AFC为三角形ABF的外角，利用外角性质得到∠AFC=∠BAF+∠ABF，又因为∠ACF=∠ACD+∠DCB，根据∠BAF=∠ACD及等量代换得到∠ACB=∠AFC，利用等角对等边即可得证；
（2）FG=2HI，理由为：过F作FM垂直于AB，由一对直角相等，已知角相等且AF=AC，利用AAS得到三角形AFM与三角形ACD全等，利用全等三角形对应边相等得到AM=DC，再由三角形BDC为等腰直角三角形，得到BD=CD，等量代换得到AM=BD，根据同角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边得到AH=BH，再由一对直角相等，利用ASA得到三角形AFM与三角形BDI全等，利用全等三角形对应边相等得到AF=BI，根据AF-AH=BI-BH，得到HF=HI，利用等角的余角相等得到∠HGI=∠HIG，利用等角等边得到GH=HI，等量代换即可得证．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠ABC=45°，且CD⊥AB，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∵∠AFC为△ABF的外角，
∴∠AFC=∠DBC+∠BAF，
∵∠ACF=∠ACD+∠DCB，
∵∠BAF=∠ACD，∠DBC=∠DCB，
∴∠ACF=∠BAF，
∴AF=AC；

（2）FG=2HI，理由为：
过F作FM⊥AB，
在△AMF和△CDA中，

∠AMF=∠CDA=90° ∠MAF=∠DCA AF=CA

，
∴△AMF≌△CDA（AAS），
∴AM=CD，
∵△DBC为等腰直角三角形，
∴DB=DC，
∴AM=BD，
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠ACD=∠BAF，
∴∠ABE=∠BAF，
∴AH=BH，
在△AFM和△BID中，

∠FAM=∠IBD AM=BD ∠AMF=∠BDI=90°

，
∴△AFM≌△BID（ASA），
∴AF=BI，
∴AF-AH=BI-BH，即HF=HI，
∵∠AGD+∠GAD=90°，∠HGI=∠AGD，
∴∠HGI+∠GAD=90°，
∵∠ACD+∠CIE=90°，∠CIE=∠HIG，
∴∠HIG+∠ACD=90°，
∵∠GAD=∠ACD，
∴∠HGI=∠HIG，
∴HG=HI，
∴HG=HI=HF，
则FG=2HI．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．