Question

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD的斜边恰好重合已知AB=2，P是AC上的一个动点．
（1）求AC的长；
（2）当点P在∠ABC的平分线上时，求DP的长；
（3）当点PD=BC时，求此时∠PDA的度．

Answer 1

考点：勾股定理,含30度角的直角三角形

专题：

分析：（1）根据∠CAB=30°，AB=2，利用三角函数的知识即可求解AC的长度；
（2）连接DP，作DH⊥AC，在Rt△BCP中，求出CP的长度，然后根据HP=HC-CP，求出HP的长度；
（3）当点PD=BC时，P点的位置可能有两处，分别为P₁，P₂，分别运用勾股定理求出PH的长度，然后求出∠HDP的度数，继而可求得∠PDA的度数．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵AB=2，∠CAB=30°，
∴BC=1，AC=

3

；

（2）连接DP，作DH⊥AC，
∵BP是∠ABC的角平分线，
∴∠CBP=30°，CP=

3

3

．
在Rt△ADC中，DH=AH=HC=

1

2

AC=

3

2

，
∴HP=

3

2

-

3

3

=

3

6

，
DP=

DH2+HP2

=

( 3 3 )2+( 3 6 )2

=

30

6

；

（2）当PD=BC=1时，P点的位置可能有两处，分别为P₁，P₂，
在Rt△DHP₁中，HP₁=

12-( 3 2 )2

=

1

2

，
∴∠HDP₁=30°，∠P₁DA=30°+45°=75°，
同理，∠P₂DA=45°-30°=15°．
∴∠PDA的度数为15°或75°．

点评：本题考查了勾股定理以及解直角三角形的应用，综合性较强，要熟练掌握好边角之间的关系以及勾股定理的应用，难度较大．