Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．

（1）求点B的坐标及抛物线的解析式；

（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，使△PBC的面积为1，求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）点B的坐标为：B（3，0），抛物线解析式为y＝﹣x2+x+1；（2）P点坐标为（1，）或（2，1）．

【解析】

（1）利用抛物线的对称性确定B（3，0），然后利用交点式求抛物线解析式；
（2）作PQ∥y轴于Q，如图，利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+1，设P（t，t2+ t +1）（0＜t＜3），则Q（t，t+1），则PQ=t2+t，利用三角形面积公式得到×3×（t2+t）=1，然后解方程求出t即可得到P点坐标．

解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，

∴B（3，0），

设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），

即y＝ax2﹣2ax﹣3a，

∵﹣3a＝1，

∴a＝，

∴抛物线解析式为y＝x2+x+1；

（2）作PQ∥y轴于Q，如图，

当x＝0时，y＝x2+x+1＝1，则C（0，1）

设直线BC的解析式为y＝mx+n，

把C（0，1），B（3，0）代入得，解得 ，

∴直线BC的解析式为y＝x+1，

设P（t，t2+t+1）（0＜t＜3），则Q（t，t+1）

∴PQ＝t2+t+1﹣（t+1）＝t2+t，

∵△PBC的面积为1，

∴×3×（t2+t）＝1，

整理得t2﹣3t+2＝0，解得t1＝1，t2＝2，

∴P点坐标为（1，）或（2，1）．

故答案为：（1）点B的坐标为：B（3，0），抛物线解析式为y＝﹣x2+x+1；（2）P点坐标为（1，）或（2，1）．