Question

13．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，并写出点A₁的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A₂BC₂；
（3）求出（2）中C点旋转到C₂点所经过的路径长（结果保留根号和π）；
（4）求出（2）△A₂BC₂的面积是多少．

Answer 1

分析 （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征，写出点A、B、C的对应点A₁、B₁、C₁的坐标，然后描点即可得到△A₁B₁C₁；
（2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、C的对应点A₂、C₂，则可得到△A₂BC₂；
（3）C点旋转到C₂点所经过的路径是以B点为圆心，BC为半径，圆心角为90°的弧，然后根据弧长公式计算即可；
（4）利用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出△A₂BC₂的面积．

解答 解：（1）如图，△A₁B₁C₁为所作，点A₁的坐标为（2，-4）；
（2）如图，△A₂BC₂为所作；

（3）BC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
所以C点旋转到C₂点所经过的路径长=$\frac{90•π•\sqrt{13}}{180}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$π；
（4）△A₂BC₂的面积=3×3-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×2×3=$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．