Question

9．矩形ABCD中，∠DBA=60°，把△ABD绕点B逆时针旋转使得点A落在BD上，点A对称点为点A₁，点D对称点为点D₁，A₁ D₁与BC交于点E，连接D₁C．
（1）求证：EC=EA₁；
（2）求证：点D₁、C、D在同一直线上．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性质得∠ADB=∠DBC=30°，AD=BC，再根据旋转的性质得∠A₁ BD₁=∠ABD=60°，A₁ D₁=AD=BC，∠BD₁ A₁=∠ADB=30°，则∠D₁B C=∠A₁ BD₁-∠DBC=30°，于是根据等腰三角形的判定得BE=ED₁，所以EC=E A₁；
（2）利用“SAS”可证明△B E A₁≌△∠CED₁，则∠D₁CE=∠B A₁ E=90°，所以∠D₁CE+∠BCD=180°，于是可判断点D₁、C、D在同一直线上．

解答 （1）证明：∵矩形ABCD中，∠DBA=60°，
∴∠ADB=∠DBC=30°，AD=BC，
∵△BA₁ D₁是△ABD绕点B逆时针旋转所得，且点A落在BD上，
∴∠A₁ BD₁=∠ABD=60°，A₁ D₁=AD=BC，∠BD₁ A₁=∠ADB=30°，
∴∠D₁B C=∠A₁ BD₁-∠DBC=60°-30°=30°，
∴∠D₁B E=∠ED₁B，
∴BE=ED₁，
∴BC-BE=A₁ D₁-ED₁，
∴EC=E A₁；
（2）证明：在△B E A₁和△∠CED₁ 中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE={D}_{1}E}\\{∠BE{A}_{1}=∠{D}_{1}EC}\\{E{A}_{1}=EC}\end{array}\right.$，
∴△B E A₁≌△∠CED₁，
∴∠D₁CE=∠B A₁ E=90°，
∴∠D₁CE+∠BCD=90°+90°=180°，
∴点D₁、C、D在同一直线上．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明BE=D₁E．