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【题目】如图,已知ABC,AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点O,过点CCEAB交直线OD于点E,连接AE、CD.

⑴如图1,求证:四边形ADCE是菱形;

⑵如图2,当∠ACB=90°,BC=6,ADC的周长为18时,求AC的长度.

【答案】(1)见解析;(2)AC=8

【解析】(1)利用直线DE是线段AC的垂直平分线,得出ACDE,即∠AOD=COE=90°,进而得出AOD≌△COE,即可得出四边形ADCE是菱形;

(2)利用当∠ACB=90°时,ODBC,即有ADO∽△ABC,即可得出AC的长.

(1)证明:∴直线DE是线段AC的垂直平分线,

ACDE,即∠AOD=COE=90°;

AD=CD、AO=CO,

又∵CEAB,

∴∠1=2,

AODCOE

∴△AOD≌△COE(AAS),

OD=OE,

A0=CO,DO=EO,

∴四边形ADCE是平行四边形,

又∵ACDE,

∴四边形ADCE是菱形;

(2)当∠ACB=90°时,ODBC,

即有ADO∽△ABC,

又∵BC=6,

OD=3,

又∵△ADC的周长为18,

AD+AO=9,

AD=9-AO,

OD==3,

可得AO=4,

AC=8.

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