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【题目】如图,已知RtABCABC=90°,以直角边AB为直径作⊙O,交斜边AC于点D,连接BD

1)若AD=3BD=4,求边BC的长;

2)取BC的中点E,连接ED,试证明ED与⊙O相切.

【答案】(1);(2)答案见解析.

【解析】

试题(1)根据勾股定理易求AC的长根据ABDACB得比例线段可求BD的长.

(2)连接OD,证明DEOD.

试题解析:(1)AB为直径,

∴∠ADB=90°,即BDAC.

RtABC中,∵AB=3,BC=4,

∴由勾股定理得AC=5.

∵∠ABC=90°,BDAC,

ABDACB,

BD=

(2)连接OD.

OD=OB(O的半径),

∴∠OBD=BDO

AB是直径(已知),

∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角),

∴∠ADB=BDC=90°;

RtBDC中,EBC的中点,

BE=CE=DE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),

∴∠DBE=BDE

又∵∠ABC=OBD+DBE=90°,

∴∠ODE=BDO+BDE=90°(等量代换);

∵点D在⊙O上,

ED与⊙O相切.

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