【题目】如图,已知Rt△ABC,∠ABC=90°,以直角边AB为直径作⊙O,交斜边AC于点D,连接BD.
(1)若AD=3,BD=4,求边BC的长;
(2)取BC的中点E,连接ED,试证明:ED与⊙O相切.
【答案】(1);(2)答案见解析.
【解析】
试题(1)根据勾股定理易求AC的长,根据△ABD∽△ACB得比例线段可求BD的长.
(2)连接OD,证明DE⊥OD.
试题解析:(1)∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,即BD⊥AC.
在Rt△ABC中,∵AB=3,BC=4,
∴由勾股定理得AC=5.
∵∠ABC=90°,BD⊥AC,
∴△ABD∽△ACB,
∴,
即,
∴BD=;
(2)连接OD.
∵OD=OB(⊙O的半径),
∴∠OBD=∠BDO
∵AB是直径(已知),
∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角),
∴∠ADB=∠BDC=90°;
在Rt△BDC中,E是BC的中点,
∴BE=CE=DE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
∴∠DBE=∠BDE
又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°,
∴∠ODE=∠BDO+∠BDE=90°(等量代换);
∵点D在⊙O上,
∴ED与⊙O相切.
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【题目】如图,已知AD=AE,添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是 ( )
A. AB=AC B. ∠ADC=∠AEB C. ∠B=∠C D. BE=CD
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【题目】如图1是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部,形成一个斜坡,货物通过斜坡进行搬运.根据经验,木板与地面的夹角为20°(即图2中∠ACB=20°)时最为合适,已知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m,木板超出车厢部分AD=0.5m,请求出木板CD的长度?
(参考数据:sin20°≈0.3420,cos20°≈0.9397,精确到0.1m)
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【题目】如图,在四边形中,,于点,动点从点出发,沿的方向运动,到达点停止,设点运动的路程为,的面积为,如果与的函数图象如图2所示,那么边的长度为______.
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【题目】(10分)一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如图1,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上.
(1)求证:△AEF∽△ABC;
(2)求这个正方形零件的边长;
(3)如果把它加工成矩形零件如图2,问这个矩形的最大面积是多少?
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【题目】如图,抛物线交x轴的正半轴于点A,点B(,a)在抛物线上,点C是抛物线对称轴上的一点,连接AB、BC,以AB、BC为邻边作□ABCD,记点C纵坐标为n,
(1)求a的值及点A的坐标;
(2)当点D恰好落在抛物线上时,求n的值;
(3)记CD与抛物线的交点为E,连接AE,BE,当△AEB的面积为7时,n=___________.(直接写出答案)
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【题目】如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,动点E、F分别从点C,D出发,以相同速度分别沿CB,DC运动(点E到达C时,两点同时停止运动).连接AE,BF交于点P,过点P分别作PM∥CD,PN∥BC,则线段MN的长度的最小值为( )
A. B. C. D. 1
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【题目】三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放,已知∠AOB=∠AOE=90°,菱形的较短对角线长为2cm.若点C落在AH的延长线上,则△ABE的周长为________cm.
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