Question

【题目】（10分）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．

（1）求证：△AEF∽△ABC；

（2）求这个正方形零件的边长；

（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400．

【解析】

试题（1）根据矩形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．

（2）根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△AEF∽△ABC，△BFG∽△BAD，从而得出边长之比＝，＝，得到+＝+＝1，进而求出正方形的边长；

（3）分别讨论长方形的长和宽在BC上的情况，再根据相应得关系式EF BC +EG．

试题解析

（1）∵四边形EGFH为矩形，

∴BC∥EF，

∴△AEF∽△ABC；

（2）设正方形零件的边长为x，

在正方形EFGH中，EF∥BC∴△AEF∽△ABC∴即，

解得：x=48，

即：正方形零件的边长为48；

（3）设长方形的长为x，宽为y，

当长方形的长在BC时，，，

，

当x=60时，

长方形的面积最大为2400．