Question

【题目】（基础模型）

已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB，过点C任作一条直线l（不与CA、CB重合），过点A作AD⊥l于D，过点B作BE⊥l于 E．

（1）如图②，当点A、B在直线l异侧时，求证：△ACD≌△CBE

（模型应用）

在平面直角坐标性xOy中，已知直线l：y＝kx﹣4k（k为常数，k≠0）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点 B．以AB为边、B为直角顶点作等腰直角△ABC．

（2）若直线l经过点（2，﹣3），当点C在第三象限时，点C的坐标为　 　．

（3）若D是函数y＝x（x＜0）图象上的点，且BD∥x轴，当点C在第四象限时，连接CD交y轴于点E，则EB的长度为　 　．

（4）设点C的坐标为（a，b），探索a，b之间满足的等量关系，直接写出结论．（不含字母k）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）(﹣6，﹣2)；（3）2；（4）a+ b=-4或b﹣a＝4．

【解析】

（1）利用同角的余角相等判断出∠CAD＝∠BCE，进而利用AAS即可得出结论；

（2）先求出直线l的解析式，进而确定出点A，B坐标，再判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；

（3）同（2）的方法可得△OAB≌△FBC，从而得BF＝OA＝4，再证△BED≌△FEC（AAS），即可得到答案；

（4）分点C在第二象限，第三象限和第四象限三种情况：先确定出点A，B坐标，再同（2）（3）的方法确定出点C的坐标（用k表示），即可得出结论．

（1）∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠ECB＝90°，

∵AD⊥l，BE⊥l，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴∠ACD+∠CAD＝∠ACD+∠BCE＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

∵CA＝CB，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，

∵直线l：y＝kx﹣4k经过点(2，﹣3)，

∴2k﹣4k＝﹣3，

∴k＝，

∴直线l的解析式为：y＝x﹣6，

令x＝0，则y＝﹣6，

∴B(0，﹣6)，

∴OB＝6，

令y＝0，则0＝x﹣6，

∴x＝4，

∴A(4，0)，

∴OA＝4，

同（1）的方法得：△OAB≌△EBC（AAS），

∴CE＝OB＝6，BE＝OA＝4，

∴OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，

∵点C在第三象限，

∴C(﹣6，﹣2)，

故答案为：(﹣6，﹣2)；

（3）如图2，

对于直线l：y＝kx﹣4k，

令x＝0，则y＝﹣4k，

∴B(0，﹣4k)，

∴OB＝4k，

令y＝0，则kx﹣4k＝0，

∴x＝4，

∴A(4，0)，

∴OA＝4，

过点C作CF⊥y轴于F，则△OAB≌△FBC（AAS），

∴BF＝OA＝4，CF＝OB＝4k，

∴OF＝OB+BF＝4k+4，

∵点C在第四象限，

∴C(4k，-4k-4)，

∵B(0，﹣4k)，

∵BD∥x轴，且D在y＝x上，

∴D(﹣4k，﹣4k)，

∴BD＝4k＝CF，

∵CF⊥y轴于F，

∴∠CFE＝90°，

∵BD∥x轴，

∴∠DBE＝90°＝∠CFE，

∵∠BED＝∠FEC，

∴△BED≌△FEC（AAS），

∴BE＝EF＝BF＝2，

故答案为：2；

（4）①当点C在第四象限时，由（3）知，C(4k，-4k-4)，

∵C(a，b)，

∴a＝4k，b＝-4k-4，

∴a+ b=-4；

②当点C在第三象限时，由（3）知，B(0，﹣4k)，A(4，0)，

∴OB＝4k，OA＝4，

如图1，由（2）知，△OAB≌△EBC（AAS），

∴CE＝OB＝4k，BE＝OA＝4，

∴OE＝OB﹣BE＝4k﹣4，

∴C(﹣4k，-4k+4)，

∵C(a，b)，

∴a＝﹣4k，b＝-4k+4，

∴b﹣a＝4；

③当点C在第二象限时，如图3，由（3）知，B(0，﹣4k)，A(4，0)，

∴OB＝4k，OA＝4，

∵△OAB≌△MBC（AAS），

∴CM＝OB＝4k，BM＝OA＝4，

∴OM＝BM﹣BO＝4﹣4k，

∴C(﹣4k，4﹣4k)，

∵C(a，b)，

∴a＝﹣4k，b＝4﹣4k，

∴b﹣a＝4；

④点C不可能在第一象限；

综上所述：a+ b=-4或b﹣a＝4．

图3