Question

【题目】如图，∠BAO=90°，AB=8，动点P在射线AO上，以PA为半径的半圆P交射线AO于另一点C，CD∥BP交半圆P于另一点D，BE∥AO交射线PD于点E，EF⊥AO于点F，连接BD，设AP=m．

（1）求证：∠BDP=90°．

（2）若m=4，求BE的长．

（3）在点P的整个运动过程中．

①当AF=3CF时，求出所有符合条件的m的值．

②当tan∠DBE=时，直接写出△CDP与△BDP面积比．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）的长为10；（3）m的值为或；与面积比为或．

【解析】

由知，再由知、，据此可得，证≌即可得；
易知四边形ABEF是矩形，设，可得，证≌得，在中，由，列方程求解可得答案；
分点C在AF的左侧和右侧两种情况求解：左侧时由知、、，在中，由可得关于m的方程，解之可得；右侧时，由知、、，利用勾股定理求解可得．作于点G，延长GD交BE于点H，由≌知，据此可得，再分点D在矩形内部和外部的情况求解可得．

如图1，

，

，

，

、，

，

，

≌，

．

，，

，

，

，

四边形ABEF是矩形，

设，则，

，

，

，

，

≌，

，

≌，

，

在中，，即，

解得：，

的长为10．

如图1，当点C在AF的左侧时，

，则，

，

，，

在中，由可得，

解得：负值舍去；

如图2，当点C在AF的右侧时，

，

，

，

，，

在中，由可得，

解得：负值舍去；

综上，m的值为或；

如图3，过点D作于点G，延长GD交BE于点H，

≌，

，

又，且，

，

当点D在矩形ABEF的内部时，

由可设、，

则，

，

则；

如图4，当点D在矩形ABEF的外部时，

由可设、，

则，

，

则，

综上，与面积比为或．