Question

【题目】如图，已知：在直角中，，点在边上，且如果将沿所在的直线翻折，点恰好落在边上的点处，点为边上的一个动点，联结，以圆心，为半径作⊙，交线段于点和点，作交⊙于点，交线段于点．

（1）求点到点和直线的距离

（2）如果点平分劣弧，求此时线段的长度

（3）如果为等腰三角形，以为圆心的⊙与此时的⊙相切，求⊙的半径

Answer 1

【答案】(1) ，；（2）；（3）或20．

【解析】

（1）设BD与AM交于点N，那么∠BNM=90°，BN=DN，然后解直角三角形即可解答；

（2）先确定∠CAB的正弦值，再设BG=3m、OG=4m建立方程求得m；再运用解直角三角形求得BE，最后利用AE=AB-BE即可求解；

（3）先求出△AOE为等腰三角形时圆O的半径及圆心距；然后就圆A与圆O是内切还是外切分类讨论求解即可．

解：（1）如图：设BD与AM交于点N，那么∠BNM=90°，BN=DN

∵Rt△ABM中，AB=12，BM=4，

∴tan∠2=， cos∠2=

∵∠1+∠BMN=90°，∠2+∠BMN=90°，

∴∠1=∠2.

∵Rt△BMN中，BM=4，

∴BN=BM·cos∠1=

∴BD=2BN=

如图所示：作DH⊥AB于H，

∴DH∥CB

∴∠BDH=∠MBN

∴DH=BD·cos∠BDH=×=；

（2）∵在Rt△ADH中，DH=，AD=AB=12，

∴sin∠CAB=

如图所示：因为点F平分弧BE，

∴OF⊥BE，BG=EG

在Rt△BOG中，已知∠BOF=∠BAC，设BG=3m，OG=4m.

在Rt△AOG中，由tan∠A==，

解得m=

∴AE=AB-BE=12-6m=；

(3)第一步，求△AOE为等腰三角形时圆O的半径，

∵△AOE是钝角三角形，

∴只存在EO=EA的情况。

如图所示：作EK⊥AC于K

在Rt△AEK中，设EK=3n，则AK=4n，EA=5n.

如图所示：作OP⊥AB于P

在Rt△AOP中，OA=2AK=8n，AP=OA=

∴PE=AP-AE=-5n=

由AB=2PE+EA=+5n=12.解得：n=.

∴ro=OE=5n=，圆心距d=OA=

第二步，分两种情况讨论圆A与圆O相切.

①如图所示，当圆A与圆O外切时，ro+ra=d，

所以ra =d-ro=；

②如图所示，当圆A与圆O内切时ra-ro=d

所以ra=d+ro=．