如图1.在矩形ABCD中.BC=2AB.AB边在y轴的正半轴上.OA=3.动点P在AD边上.过点P作PF⊥AC于点F.过点P.F的直线l交BC边于点E.设四边形PECD的面积为S.AP=m.当直线l经过点B时.它的解析式为y=2x+1．(1)如图2.当直线l经过点B时.直接写出m的值,(2)求S与m之间的函数关系式.并写出m的取值范围,(3)如图3.设直线l线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．如图1，在矩形ABCD中，BC=2AB，AB边在y轴的正半轴上，OA=3，动点P在AD边上（P不与A，B重合），过点P作PF⊥AC于点F，过点P，F的直线l交BC边于点E，设四边形PECD的面积为S，AP=m，当直线l经过点B时（此时点E与点B重合），它的解析式为y=2x+1．
（1）如图2，当直线l经过点B时，直接写出m的值；
（2）求S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）如图3，设直线l线段AD与y轴所围成的面积为S₀，当m为何值时，四边形AECP是菱形？并求此时$\frac{{S}_{0}}{S}$的值．

分析（1）首先根据当直线l经过点B时，它的解析式为y=2x+1，求出OB、AB的值各是多少；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△ACB∽△∠PBA，即可判断出$\frac{AP}{BA}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$，据此求出AP的值是多少，即可判断出m的值是多少．
（2）首先求出当直线l不经过点B时，它的解析式为多少；然后求出点E的坐标，进而求出BE、CE的长度各是多少；最后根据梯形的面积的求法，求出S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围即可．
（3）首先根据设四边形AECP是菱形时，直线l与y轴交与点G，根据四边形AECP是菱形，可得AP=CE，据此求出m的值是多少；然后求出直线l的解析式，以及点G的坐标各是多少；最后分别求出S₀，S的值各是多少，即可求出$\frac{{S}_{0}}{S}$的值是多少．

解答解：（1）如图1，
，
∵当直线l经过点B时，它的解析式为y=2x+1，
∴点B的坐标是（0，1），OB=1，
又∵OA=3，
∴AB=OA-OB=3-1=2，BC=2AB=2×2=4，
∵PF⊥AC，
∴∠ACB+∠CBF=90°，
又∵∠ABP+∠CBF=90°，
∴∠ACB=∠ABP，
在△ACB和△PBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠ABP}\\{∠CBA=∠BPA=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACB∽△PBA，
∴$\frac{AP}{BA}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AP=1，
即m=1．

（2）如图2，
，
由（1），可得
AB=2，BC=4，
∵当直线l经过点B时（此时点E与点B重合），它的解析式为y=2x+1，
∴设当直线l不经过点B时，它的解析式为y=2x+b，
∵点P的坐标是（m，3），
∴3=2m+b，
解得b=3-2m，
∴y=2x+3-2m，
令y=1，可得1=2x+3-2m，
解得x=m-1，
∴点E的坐标是（m-1，1），
∴BE=m-1，CE=4-（m-1）=5-m，
∴S=（PD+CE）×CD÷2
=[（4-m）+（5-m）]×2÷2
=9-2m
∵当直线l经过点B时，m=1，AD=BC=4，
∴1≤m≤4，
∴S=9-2m（1≤m≤4）．

（3）如图3，
，
设四边形AECP是菱形时，直线l与y轴交与点G，
∵四边形AECP是菱形，
∴AP=CE，
∴m=5-m，
解得m=2.5，
∴当m=2.5时，四边形AECP是菱形，
此时直线l的解析式是：
y=2x+3-2m=2x+3-2×2.5=2x-2，
∵直线l与y轴交与点G，
∴点G的坐标是（0，-2），
∴AG=3+2=5，
∴S₀=5×2.5÷2=6.25，S=9-2m=9-2×2.5=4，
∴$\frac{{S}_{0}}{S}$=$\frac{6.25}{4}=\frac{25}{16}$
综上，可得当m=2.5时，四边形AECP是菱形，此时$\frac{{S}_{0}}{S}$的值是$\frac{25}{16}$．

点评（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）此题还考查了矩形的性质和应用，以及三角形、梯形的面积的求法，要熟练掌握．

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