Question

2．如图，AD为△ABC的平分线，E为BC的中点，EF∥AD交BA的延长线于F，交AC于G．
（1）求证：AF=AG；
（2）求证：BF=CG；
（3）求$\frac{AB+AC}{CG}$的值．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的定义可知∠1=∠2，由平行线的性质可知∠F=∠1，∠2=∠3，故此∠F=∠3，由等角对等边可知AF=AG；
（2）延长FE到H使FE=EH．先证明△BFE≌△CHE，从而得到∠H=∠F，BF=CH，由∠H=∠4，可知HC=CG，故此BF=CG；
（3）根据AB+AC=AB+AG+CG=AB+AF+CG=BF+GC，可知AB+AC=2GC．

解答 解：（1）如图1所示：

∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
∵AD∥EF，
∴∠F=∠1，∠2=∠3．
∴∠F=∠3．
∴AF=AG．
（2）如图2，延长FE到H使FE=EH．

在△BFE和△CHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EH}\\{∠FEB=∠HEC}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△CHE．
∴∠H=∠F，BF=CH．
又∵∠F=∠3=∠4，
∴∠H=∠4．
∴HC=CG．
∴BF=CG．
（3）$\frac{AB+AC}{CG}$=$\frac{AB+AG+GC}{GC}$=$\frac{AB+AF+GC}{GC}$=$\frac{BF+GC}{GC}$=$\frac{2GC}{GC}$=2．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．