Question

抛物线y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列结论正确的是（　　）

• A、abc＞0
• B、a+c＞0
• C、b²+4a＞4ac
• D、2a+b＞0

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧得0＜-

b

2a

＜1，则b＞0，2a+b＜0；由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＜0；
再利用x=-1时，y＜0，而x=1时，y＞0，得到a-b+c＜0，a+b+c＞0，所以-b＜a+c＜b；然后根据抛物线顶点的纵坐标大于1得到

4ac-b2

4a

＞1，利用不等式性质可得b²+4a＞4ac．

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴0＜-

b

2a

＜1，
∴b＞0，2a+b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0；
∵x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，
∴a+c＜b，
而x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，即a+c＞-b，
∴-b＜a+c＜b；
∵抛物线顶点的纵坐标大于1，
∴

4ac-b2

4a

＞1，
而a＜0，
∴4ac-b²＜4a，即b²+4a＞4ac．
故选C．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．