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【题目】如图,过正方形ABCD顶点B,C的⊙O与AD相切于点P,与AB,CD分别相交于点E、F,连接EF.

(1)求证:PF平分∠BFD.

(2)若tan∠FBC=,DF=,求EF的长.

【答案】(1)详见解析;(2).

【解析】

试题分析:(1)根据切线的性质得到OPAD,由四边形ABCD的正方形,得到CDAD,推出OPCD,根据平行线的性质得到PFD=OPF,由等腰三角形的性质得到OPF=OFP,根据角平分线的定义即可得到结论;(2)由C=90°,得到BF是O的直径,根据圆周角定理得到BEF=90°,推出四边形BCFE是矩形,根据矩形的性质得到EF=BC,根据切割线定理得到PD2=DFCD,于是得到结论.

试题解析:(1)连接OP,BF,PF,

∵⊙O与AD相切于点P,

OPAD,

四边形ABCD的正方形,

CDAD,

OPCD,

∴∠PFD=OPF,

OP=OF,

∴∠OPF=OFP,

∴∠OFP=PFD,

PF平分BFD;

(2)连接EF,

∵∠C=90°

BF是O的直径,

∴∠BEF=90°

四边形BCFE是矩形,

EF=BC,

ABOPCD,BO=FO,

OP=AD=CD,

PD2=DFCD,即(2=CD,

CD=4

EF=BC=4

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  ()S4时,求x的值;

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