【题目】如图,过正方形ABCD顶点B,C的⊙O与AD相切于点P,与AB,CD分别相交于点E、F,连接EF.
(1)求证:PF平分∠BFD.
(2)若tan∠FBC=,DF=,求EF的长.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)根据切线的性质得到OP⊥AD,由四边形ABCD的正方形,得到CD⊥AD,推出OP∥CD,根据平行线的性质得到∠PFD=∠OPF,由等腰三角形的性质得到∠OPF=∠OFP,根据角平分线的定义即可得到结论;(2)由∠C=90°,得到BF是⊙O的直径,根据圆周角定理得到∠BEF=90°,推出四边形BCFE是矩形,根据矩形的性质得到EF=BC,根据切割线定理得到PD2=DFCD,于是得到结论.
试题解析:(1)连接OP,BF,PF,
∵⊙O与AD相切于点P,
∴OP⊥AD,
∵四边形ABCD的正方形,
∴CD⊥AD,
∴OP∥CD,
∴∠PFD=∠OPF,
∵OP=OF,
∴∠OPF=∠OFP,
∴∠OFP=∠PFD,
∴PF平分∠BFD;
(2)连接EF,
∵∠C=90°,
∴BF是⊙O的直径,
∴∠BEF=90°,
∴四边形BCFE是矩形,
∴EF=BC,
∵AB∥OP∥CD,BO=FO,
∴OP=AD=CD,
∵PD2=DFCD,即()2=CD,
∴CD=4,
∴EF=BC=4.
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【题目】若把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍,则锐角∠A的正切值( )
A. 扩大为原来的5倍 B. 不变 C. 缩小为原来的5倍 D. 不能确定
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【题目】下图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位:L/km)与速度x(单位:km/h)之间的函数关系(30≤x≤120)。已知线段BC表示的函数关系中,该汽车的速度每增加1km/h,耗油量增加0.002L/km.
(1) 当速度为50km/h、100km/h时,该汽车的耗油量分别为_____L/km、____L/km.
(2) 求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式
(3) 速度是多少时,该汽车的耗油量最低?最低是多少?
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【题目】下列说法错误的是( ).
A.点P(3,-4)关于原点的对称点为P′(-3,-4)
B.点P(3,-4)关于x轴的对称点为P′(3,4)
C.点P(3,-4)关于y轴的对称点为P′(-3,-4)
D.点P(3,-2)关于原点的对称点为P′(-3,2)
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【题目】如图1,长方形OABC的边OA在数轴上,O为原点,长方形OABC的面积为12,OC边长为3.
(1)数轴上点A表示的数为________.
(2)将长方形OABC沿数轴水平移动,移动后的长方形记为O′A′B′C′,移动后的长方形O′A′B′C′与原长方形OABC重叠部分(如图2中阴影部分)的面积记为S.
①当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时,数轴上点A′表示的数是多少?
②设点A的移动距离AA′=x.
(ⅰ)当S=4时,求x的值;
(ⅱ)D为线段AA′的中点,点E在线段OO′上,且OE=OO′,当点D,E所表示的数互为相反数时,求x的值.
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【题目】
如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,连接PA,PB,AB,已知∠PBA=∠C.
⑴求证:PB是⊙O的切线;
⑵连接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半径为,求BC的长.
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【题目】果品店刚试营业,就在批发市场购买某种水果销售,第一次用500元购进若干千克水果,并以每千克定价7元出售,很快售完.由于水果畅销,第二次购买时,每千克的进价比第一次提高了20%,用660元所购买的数量比第一次多10千克.仍以原来的单价卖完.
求第一次该种水果的进价是每千克多少元?
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