Question

【题目】如图，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.

(1) 求证：DE－BF = EF；

(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）EF = 2FG，理由见解析.

【解析】分析：（1）本题的关键是求△ADE≌△ABF，以此来得出DE=AF=AE+EF=BE+EF，这两个三角形中已知的条件有AD=BA，一组直角，关键是再找出一组对应角相等，可通过证明∠DAF和∠ABF来实现．（通过平行和等角的余角相等来证得）
（2）通过证明△AFB ∽△BFG ∽△ABG，得出AB，BG；AF，BF；BF，BG之间的比例关系，根据点G为BC边中点，来得出AF，BF，BF，FG之间的比例关系，然后根据（1）中得出的结果来求BF，FG的大小关系．

详解：(1) 证明:

∵ 四边形ABCD 是正方形, BF⊥AG , DE⊥AG

∴ DA=AB， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°

∴ ∠BAF = ∠ADE ∴ △ABF ≌ △DAE

∴ BF = AE , AF = DE

∴ DE－BF = AF－AE = EF

（2）EF = 2FG 理由如下：

∵ AB⊥BC , BF⊥AG , AB =2 BG

∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG

∴

∴ AF = 2BF , BF =2FG

由(1)知, AE = BF，∴ EF = BF = 2 FG