Question

【题目】定义：有一组对边与一条对角线均相等的四边形为对等四边形，这条对角线又称对等线．

（1）如图1，在四边形ABCD中，∠C＝∠BDC，E为AB的中点，DE⊥AB．求证：四边形ABCD是对等四边形．

（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的对等四边形ABCD，使BD是对等线，C，D在格点上．

（3）如图3，在图（1）的条件下，过点E作AD的平行线交BD，BC于点F，G，连结DG，若DG⊥EG，DG＝2，AB＝5，求对等线BD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BD＝．

【解析】

（1）先说明∠C=∠BDC，证得BC=BD，然后由等腰三角形的性质得到BD=AD，即可证明；

（2）作A B的垂直平分线与方格纸上的格点的交点即为点D，再以点B为圆心、以BD长为半径画圆，圆与方格纸上的格点的交点即为点C，连接AD、BC、CD，则AD=BC=BD即可完成作图；

（3）过点E作EH⊥AD于H，先证得四边形DGEH是矩形，得出EH=DG=2；然后再求出AE的长；，S△ADE=S△BDE，设DE=x，A D=BD=y，然后再运用勾股定理和三角形的面积公式列出方程组求解即可．

（1）证明：∵∠C＝∠BDC，

∴BC＝BD，

∵E为AB的中点，DE⊥AB，

∴BD＝AD，

∴BC＝AD＝BD，

∴四边形ABCD是对等四边形；

（2）解：有两种画法：

作AB的垂直平分线与方格纸上的格点的交点即为点D，再以点B为圆心、以BD长为半径画圆，圆与方格纸上的格点的交点即为点C，连接AD、BC、CD，则AD＝BC＝BD，如图2﹣1所示；

（3）解：过点E作EH⊥AD于H，如图3所示：

则∠EHD＝90°，

∵EG∥AD，DG⊥EG，

∴∠EGD＝∠HDG＝90°，

∴四边形DGEH是矩形，

∴EH＝DG＝2，

∵E为AB的中点，AB＝5，

∴AE＝BE＝AB＝，S△ADE＝S△BDE，

设DE＝x，AD＝BD＝y，

则S△ADE＝EHAD＝×2×y＝y，S△BDE＝BEDE＝××x＝x，

∵在Rt△BDE中，∠BED＝90°，

∴BD2＝BE2+DE2，即y2＝（）2+x2，

∴，

解得：

∴BD＝．