Question

【题目】（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在中，，点是边上的一点，，求的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点作，交的延长线于点，进而求解，请回答下列问题：

（1）___________度；

（2）求的长．

（拓展应用）如图③，在四边形中，，对角线相交于点，且，，则的长为_____________．

Answer 1

【答案】【问题探究】（1）；（2）．【拓展应用】．

【解析】

问题探究：

（1）由平行线的性质得出∠ACE+∠BAC=180°，即可得出结果；
（2）由平行线的性质得出∠E=∠BAD=72°，证出AC=AE，由平行线证明△ABD∽△ECD，求出AD=2；ED=4，ED=2，得出AC=AE=AD+ED=6；
拓展应用：过点D作DF∥AB交AC于点F．证明△BAE∽△DFE，得出 =2，得出AB=2DF，EF=AE=1，AF=AE+EF=3，证出AC=AD，在Rt△ADF中，求出DF=AF×tan∠CAD=，得出AC=AD=2DF=2，AB=2DF=2，得出AC=AB，在Rt△ABC中，求出BC= AB=2 即可．

解：（1）∵CE∥AB，
∴∠ACE+∠BAC=180°，
∴∠ACE=180°-108°=72°；
故答案为：72；
（2）∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD=72°，
∴∠E=∠ACE，
∴AC=AE，
∵CE∥AB，
∴△ABD∽△ECD，
∴ ，
∵BD=2CD，
∴=2，
∴AD=2ED=4，
∴ED=2，
∴AC=AE=AD+ED=4+2=6；

拓展应用：
解：如图3中，过点D作DF∥AB交AC于点F．
∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∵DF∥AB，
∴∠DFA=∠BAC=90°，
∵∠AEB=∠DEF，
∴△BAE∽△DFE，
∴=2，
∴AB=2DF，EF=AE=1，AF=AE+EF=3，
∵∠BAD=120°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=75°=∠ADC，
∴AC=AD，
在Rt△ADF中，∵∠CAD=30°，
∴DF=AF×tan∠CAD=3× ，
∴AC=AD=2DF=2，AB=2DF=2，
∴AC=AB，
在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，
∴BC=AB=2；
故答案为：2．