Question

如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF；④S_{正方形ABCD}＝2＋.其中正确的序号是_________________（把你认为正确的都填上）.

Answer 1

①②④  解析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，又∠B＝∠D＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝DC，∴BC－BE＝CD－DF，∴CE＝CF，∴①正确；∵CE＝CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∵∠AEF＝60°，∴∠AEB＝75°，∴②正确；如下图，连接AC，交EF于点G，∴AC⊥EF，且AC平分EF.∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE＋DF≠EF，∴③错误；∵EF＝2，∴CE＝CF＝，设正方形边长为x，在Rt△ADF中，由勾股定理得x²＋(x－)²＝4，解得x＝，∴x²＝()²＝2＋，即S_{正方形ABCD}＝2＋，∴④正确.