Question

已知关于x的函数.

（1）m=__________时，是一次函数；

（2）求证：对任何实数m，的图像与都有公共点；

（3）若是关于的二次函数的图像与x有两个不同的公共点A、B （点A在点B左边），图像顶点为C，且△ABC是等腰直角三角形，求m的值；

（4）是否存在这样的点P，使得对任何实数m，的图像都经过P点？若存在，求出所有P的坐标；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

（1）根据题意得：m=0

（2）m=0 时，y=－x+1与x轴交于点（1，0）

     m≠0时，△=+4m（m－1）=≥0

∴对任何实数m，y=m－x－（m－1）的图像与x都有公共点；

（3） 由m－x－（m－1）=0得=1，∴AB=

且顶点C的纵坐标

∵△ABC是等腰直角三角形

∴AB=2即

∴m=或m=，或m=－

经检验m=，或m=－

（4）由m=0得y=－x+1， m=1得y=－x

由   解得或对任何实数m

当x=1时，y=m－x－（m－1）=m－1－（m－1）=0

当x=－1时，y=m－x－（m－1）=m+1－（m－1）=2

对任何实数m，y=m－x－（m－1）的图像都经过点（1，0）（－1，2）

即所求点P的坐标为（1，0）或（－1，2）