Question

为扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于大学生开办公司，生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润偿逐步还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）若该公司有80名员工，问产品的单价定为多少时，该公司获得月利润最大，最大利润是多少？
（3）则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？（利润=销售额-生产成本-员工工资-其它费用）

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据函数图象，分两种情况列出一次函数解析式；
（2）根据（1）中一次函数，列出关于利润的二次函数，然后求最值；
（3）公司若还清无息贷款，则10m≥80，解出m的值即可．

解答：解：（1）当40≤x≤60时，设y=k₁x+b₁，
则

40k1+b1=4 60k1+b1=2

，解得

k1=- 1 10 b1=8

，
∴y=-

1

10

x+8．
当60＜x≤80时，

60k2+b2=2 80k2+b2=1

，解得

k1=- 1 20 b1=5

，
∴y=-

1

20

x+5，
∴

y=- 1 10 x+8(40≤x≤60) y=- 1 20 x+5(60＜x≤80)

；
（2）设公司所获利润为W万元，当40≤x≤60时，
W=（-

1

10

x+8）（x-40）-15-0.25×80
=-

1

10

x²+12x-355，
即W=-

1

10

（x-60）²+5，
∴x=60，W_最大=5万元；
当60＜x≤80时，
W=（-

1

20

x+5）（x-40）-15-0.25×80
=-

1

20

x²+7x-235，
即W=-

1

20

（x-70）²+10，
∴x=70，W_最大=10万元；
∴当单价为70元时，获得最大月利润为10万元．
（3）要尽早还清贷款，公司获得最大月利润，
设m个月后该公司可还清贷款，则10m≥80，解得，m≥8，所以，该公司最早可在8个月后还清贷款．

点评：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，本题要注意一次函数与二次函数的结合．