Question

如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：AC′与BC交于点D，B′C′与BC交于点E，与AB交于点F，如图，由∠BAC=90°，AB=AC=2可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠B=∠C=45°，BC=

2

AB=2

2

，再根据旋转的性质得∠CAC′=45°，AC′=AC=2，∠C=∠C′=45°，则∠ADC=90°，所以AD=

1

2

BC=

2

，可计算出C′D=AC′-AD=2-

2

，接着证明△C′DE为等腰直角三角形得到C′D=DE=2-

2

，证明△AC′F为等腰直角三角形得到C′F=AF=

2

2

AC′=

2

，然后利用图中阴影部分的面积=S_△AC′F-S_△DC′E进行计算即可．

解答：解：AC′与BC交于点D，B′C′与BC交于点E，与AB交于点F，如图，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，BC=

2

AB=2

2

，
∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，
∴∠CAC′=45°，AC′=AC=2，∠C=∠C′=45°，
∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，
∴AD=

1

2

BC=

2

，
∴C′D=AC′-AD=2-

2

，
∵△C′DE为等腰直角三角形，
∴C′D=DE=2-

2

，
∵∠BAD=90°-∠CAC′=45°，
而∠C′=45°，
∴△AC′F为等腰直角三角形，
∴C′F=AF=

2

2

AC′=

2

，
∴图中阴影部分的面积=S_△AC′F-S_△DC′E
=

1

2

•（

2

）²-

1

2

（2-

2

）²
=2

2

-2．
故答案为2

2

-2．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的盘定于性质．