Question

【题目】已知直线y=﹣x+6，交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+mx+n经过A点，且与直线y=﹣x+6交于另一点P．
（1）若P与B点重合，求抛物线的解析式；
（2）若P在第一象限，过PE⊥x轴于E点，PF⊥y轴于F点，当四边形PEOF面积为5，求抛物线的解析式；
（3）若△OAP为等腰三角形，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令x=0，则y=6；

令y=0，则﹣x+6=0，解得：x=6．

故A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，6）．

∵P与B点重合，

∴有 ，解得： ．

故当P与B点重合，抛物线的解析式为y=x2﹣7x+6

（2）

解：结合题意画出图形，如图1所示．

∵点P在线段AB上，

∴设P点坐标为（a，﹣a+6）（0＜m＜6），则有PE=6﹣a，PF=a．

四边形PEOF面积=PEPF=（6﹣a）×a=5，

解得：a=1，或a=5，

即点P的坐标为（1，5）或（5，1）．

当点P坐标为（1，5）时，有 ，

解得： ，

此时抛物线的解析式为y=x2﹣8x+12；

当点P坐标为（5，1）时，有 ，

解得： ，

此时抛物线的解析式为y=x2﹣12x+36．

综上可知，抛物线的解析式为y=x2﹣8x+12或者y=x2﹣12x+36

（3）

解：设点P的坐标为（b，6﹣b）．

∵点O（0，0），点A（6，0），

∴OP= ，OA=6﹣0=6，PA= ．

∵△OAP为等腰三角形，

∴分三种情况考虑．

①当OP=OA时，有 =6，

解得：b=0，或b=6（舍去），

此时P点的坐标为（0，6）．

同（1）一样，故m=﹣7；

②当OP=PA，即 = ，

解得：b=3，

此时P点的坐标为（3，3）．

将P（3，3），A（6，0）代入抛物线解析式，得：

，解得m=﹣10；

③当OA=PA时，有6= ，

解得：b=6±3 ，

此时P点的坐标为（6+3 ，﹣3 ）或（6﹣3 ，3 ）．

将P（6+3 ，﹣3 ），A（6，0）代入抛物线解析式，得：

，解得m=﹣3 ﹣13；

将P（6﹣3 ，3 ），A（6，0）代入抛物线解析式，得：

，解得m=3 ﹣13．

综上可知：当△OAP为等腰三角形，m的值为﹣7，﹣10，﹣3 ﹣13和3 ﹣13

【解析】（1）分别令x、y=0，可求出B、A点的坐标，再利用待定系数法即可得出结论；（2）由四边形PEOF面积为5可得出P点的坐标，结合A点的坐标利用待定系数法即可求得结论；（3）设出P点坐标，由两点间的距离公式表示出△OAP的三条边，再分类讨论相邻两边相等得出结论．