Question

8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=Rt∠，∠C=60°，AD=4，CD=8，点E在BC上，点F在CD上，现将四边形ABCD沿EF折叠，若点C洽与点A重合，EF为折痕，则CE=7，sin∠AFE=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

Answer 1

分析 连接AC交EF于M，过F作FN⊥AD交AD的延长线于N，延长NF交BC于H，由折叠的性质得：EF垂直平分AC，AF=CF，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{48+64}$=4$\sqrt{7}$得到AM=2$\sqrt{7}$，设DF=x，根据已知条件得到DN=$\frac{1}{2}$x，NF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，根据勾股定理列方程求得AF=CF=5.6，NF=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，于是得到sin∠AFE=$\frac{AM}{AF}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，CH=2.8，由勾股定理得到AB²+BE²=AE²，列方程求出CE=7．

解答 解：连接AC交EF于M，过F作FN⊥AD交AD的延长线于N，延长NF交BC于H，
由折叠的性质得：EF垂直平分AC，
∴AF=CF，
∵∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{48+64}$=4$\sqrt{7}$，
∴AM=2$\sqrt{7}$，
设DF=x，
∵∠BCD=60°，AD∥BC，
∴∠NDF=60°，
∴∠DFN=30°，
∴DN=$\frac{1}{2}$x，NF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
在R_t△ANF中，AN²+NF²=AF²，
即：（4+$\frac{x}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}x}{2}$）²=（8-x）²，
解得：x=2.4．
∴AF=CF=5.6，NF=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，
∴sin∠AFE=$\frac{AM}{AF}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，CH=2.8，
∴BC=8，AB=4$\sqrt{3}$，
∴AB²+BE²=AE²，
即：（4$\sqrt{3}$）²+（8-CE）²=CE²，
解得：CE=7，
故答案为：7，$\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$，

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．