已知.如图.在平面直角坐标系中.△ABC的边BC在x轴上.顶点A在y轴的正半轴上.OA=2.OB=1.OC=4．(1)求过A.B.C三点的抛物线的解析式,(2)设点G是对称轴上一点.求当△GAB周长最小时.点G的坐标,(3)若抛物线对称轴交x轴于点P.在平面直角坐标系中.是否存在点Q.使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形?若存在.写出所有符合条件的点Q的坐标.并选择其中一个的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．

已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；
（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；
（4）设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

分析（1）由线段长度求出三个点的坐标，再用待定系数法求解即可；
（2）找到点B关于抛物线对称轴的对称点A，取AB与抛物线对称轴的交点即可；
（3）分别过点P，A作AP的垂线，取点Q，根据等腰直角三角形构建全等三角形即可求解；
（4）根据以AB为边和以AB为对角线进行讨论，结合菱形的性质进行求解即可．

解答解：（1）由题意可求，A（0，2），B（-1，0），点C的坐标为（4，0）．
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x-4）（x+1），
把点A（0，2）代入，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
所以抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$（x-4）（x+1）=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$，
（2）如图1

物线y=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$的对称轴为：x=$\frac{3}{2}$，
由点C是点B关于直线：x=$\frac{3}{2}$的对称点，所以直线AC和直线x=$\frac{3}{2}$的交点即为△GAB周长最小时的点G，
设直线AC的解析式为：y=mx+n，把A（0，2），点C（4，0）代入得：．
$\left\{\begin{array}{l}{2=n}\\{0=4m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
所以：y=$-\frac{1}{2}$x+2，
当x=$\frac{3}{2}$时，y=$\frac{5}{4}$，
所以此时点G（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{4}$）；
（3）如图2

使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q的坐标：Q₁（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），Q₂（$-\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），Q₃（2，$\frac{7}{2}$），Q₄（-2，$\frac{1}{2}$），
证明Q₁：过点Q₁作Q₁M⊥x轴，垂足为M，
由题意：∠APQ₁=90°，AP=PQ₁，
∴∠APO+∠MPQ₁=90°，
∵∠APO+∠PAO=90°，
∴∠PAO=∠MPQ₁，
在△AOP和△MPQ₁中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOP=∠PM{Q}_{1}=90°}\\{∠PAO=∠MP{Q}_{1}}\\{AP={Q}_{1}P}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△MPQ₁，
∴PM=AO=2，Q₁M=OP=$\frac{3}{2}$，
∴OM=$\frac{7}{2}$，
此时点Q的坐标为：（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（4）存在
点N的坐标为：（0，-2），（$\sqrt{5}$，2），（-$\sqrt{5}$，2），（$-\frac{5}{2}$，2）．

点评此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式；结合对称点解决线段和最小问题；熟悉等腰直角三角形的性质，并应用于点的存在的研究；熟悉菱形的性质，并运用于菱形顶点的存在性研究是解决此题的关键．

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