Question

18．用反证法证明：对角互补的四边形共圆．

Answer 1

分析 首先写出已知与求证，进而利用D点在圆内或D点在圆外分别证明得出即可．

解答 已知：四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，
求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）
证明：如图1，假设A、B、C、D四点不共圆，过A、B、C三点作圆，D点在圆内，
延长AD与圆交于点E，连接CE，
则：∠B+∠E=180°，
∵∠ADC＞∠E，
∴∠B+∠ADC＞180°，
这与已知条件∠B+∠ADC=180°矛盾，故假设不成立，原结论正确，A、B、C、D四点不共圆．
如图2，假设A、B、C、D四点不共圆，D点在圆外，
连接AE，
则：∠B+∠AEC=180°，
∵∠ADC＜∠AEC，
∴∠B+∠ADC＜180°，
这与已知条件∠B+∠ADC=180°矛盾，故假设不成立，原结论正确，A、B、C、D四点不共圆．

点评 此题主要考查了反证法以及四点共圆的条件，根据题意利用分类讨论得出是解题关键．