Question

【题目】如图1，正方形OABC的边长为12，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，双曲线y＝（x＞0）与边BC、AD分别交于点D、E，且BD＝AE.

（1）求k的值；

（2）如图2，若点N为双曲线y＝上正方形OABC内部一动点，过点N作y轴的垂线，交AC于点F，交AB于点G，过点F作x轴的垂线交为双曲线y＝于点M.设点N的纵坐标为n

①若n＝8，求证：△BMN是直角三角形；

②若去掉①中的条件 “n＝8”， △BMN是否仍为直角三角形？请证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）;（2）①证明见解析; ②△BMN仍为是直角三角形，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）设BD=AD=a，表示出E,D两点的坐标，根据两点都在双曲线上，即可求得k的值；(2)分别求出BM、BN、MN的长度，根据勾股定理得逆定理即可证得；（3）用含n的代数式表示出GM、MB、DE、BD的长度，根据正切相等得到∠GBM=∠EBD，再根据∠EBD+∠CBE=90°即可证出.

试题解析：

（1）设BD=AD=a，则E(12,a),D(12-a,12),

∵双曲线y＝（x＞0）与边BC、AD分别交于点D、E，

∴,

解得：

综上，k的值是72.

（2）①在△BMN中，

BM，BN，

MN，

∵MN2=BM2+BN2，

∴△BMN是直角三角形

②△BMN仍为是直角三角形，理由如下：

点N的坐标为（，n）,F（12-n，n），M(12-n， )

则 GM=,MB=n,DE=,BD=12-n,

在△BED中， ，

在△BDE中， ，

∴∠GBM=∠EBD,

∵∠EBD+∠CBE=90°,

∴∠GBM+∠CBE=90°,

∴△BMN仍为是直角三角形.

点睛: 本题是反比例函数的综合题，考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法的应用以及解直角三角形的应用等．